Formel von Besge

Die Formel von Besge (englisch Besge's formula) ist eine mathematische Formel, die dem Gebiet der Zahlentheorie zuzurechnen ist. Sie geht auf einen Brief eines Monsieur Besge aus dem Jahre 1862 zurück, in dem Besge den Mathematiker Joseph Liouville von dieser Formel in Kenntnis setzte. Die Formel behandelt endliche diskrete Faltungen der Teilersummenfunktion $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ mit sich selbst.^[1]

Darstellung der Formel

Die Formel besagt folgendes:^[2]

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gilt die Gleichung

\sum _{k=1}^{n-1}{\bigl (}\sigma (k)\cdot \sigma (n-k){\bigr )}={\frac {5{\sigma }_{3}(n)}{12}}+\left({\frac {1}{12}}-{\frac {n}{2}}\right)\cdot \sigma (n)\,

.^{[A 1]}

Folgerung: Der Satz von Glaisher

Aus der Formel von Besge ergibt sich eine bekannte Reihenentwicklung, die dem englischen Mathematiker James Whitbread Lee Glaisher zugerechnet wird:^[3]^{[A 2]}

Für jede komplexe Zahl $q$ mit $|q|<1$ gilt die Gleichung

\left(\sum _{n=1}^{\infty }{{\sigma (n)}\cdot q^{n}}\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {5{\sigma }_{3}(n)}{12}}+{\frac {\sigma (n)}{12}}-{\frac {n\sigma (n)}{2}}\right)\cdot q^{n}}\,

.

Hintergrund: Eine allgemeine Formel von Liouville

Die obige Besge'sche Formel beruht auf einer allgemeinen Formel von Liouville aus dem Jahre 1858:^[4]

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n>0$ und eine gerade Funktion $f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} \,$ .

Dann gilt die Gleichung

\sum \limits _{\left(a,b,x,y\right)\in {\mathbb {N} }^{4}\;{\text{und}} \atop \;\ {ax+by=n}}\left(f(a-b)-f(a+b)\right)=f(0)\cdot \left(\sigma (n)-d(n)\right)+\sum \limits _{d\in \mathbb {N} \;{\text{und}} \atop \;\ d|n}\left({\bigl (}1+{\frac {2n}{d}}-d{\bigr )}\cdot f(d)\right)-2\cdot \sum \limits _{d\in \mathbb {N} \;{\text{und}} \atop \;\ d|n}\left(\sum _{k=1}^{d}{f(k)}\right)\,

.^{[A 3]}

Historisches

Um wen es sich bei besagtem Monsieur Besge konkret handelt, ist nicht vollständig geklärt. Nicht zuletzt gibt es die auf den Mathematikhistoriker Jesper Lützen zurückgehende Vermutung, dass „Besge“ ein Pseudonym von Liouville selbst ist.^[2]

Literatur

M. Besge: Extrait d'une Lettre de M. Besge à M. Liouville. In: J. Math. Pures Appl. 1862, S. 256.
Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville (= London Mathematical Society Student Texts. Band 76). Cambridge University Press, Cambridge 2011, ISBN 978-0-521-17562-3 (MR2731552).

Einzelnachweise

↑ Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 125 ff.
↑ ^a ^b Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 125
↑ Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 126
↑ Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 100 ff., S. 125

Anmerkungen

↑ Mit ${\sigma }_{j}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \,(j=0,1,2,3,4\ldots )$ bezeichnet man die arithmetische Funktion, die jeweils die Summe der $j$ -ten Potenzen der positiven Teiler zu jeder natürlichen Zahl bildet.
↑ Der in der englischsprachigen Wikipedia angegebene Satz von Glaisher (Glaisher's theorem), der Partitionen nichtnegativer ganzer Zahlen behandelt, stimmt mit dem hier angegebenen nicht überein.
↑ $d={\sigma }_{0}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ist diejenige arithmetische Funktion, welche jeder natürlichen Zahl die Anzahl ihrer positiven Teiler zuordnet. Weiter symbolisiert der senkrechte Strich $|$ die Teilereigenschaft, bedeutet also soviel wie „ist Teiler von“. Die Besge'sche Formel ergibt sich dann, indem man als Funktion $f$ die Quadratfunktion wählt.

[KSW_01-1] Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 125 ff.

[KSW_02-2] Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 125

[KSW_03-4] Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 126

[KSW_04-6] Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 100 ff., S. 125

[3] Mit ${\sigma }_{j}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \,(j=0,1,2,3,4\ldots )$ bezeichnet man die arithmetische Funktion, die jeweils die Summe der $j$ -ten Potenzen der positiven Teiler zu jeder natürlichen Zahl bildet.

[5] Der in der englischsprachigen Wikipedia angegebene Satz von Glaisher (Glaisher's theorem), der Partitionen nichtnegativer ganzer Zahlen behandelt, stimmt mit dem hier angegebenen nicht überein.

[7] $d={\sigma }_{0}\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ist diejenige arithmetische Funktion, welche jeder natürlichen Zahl die Anzahl ihrer positiven Teiler zuordnet. Weiter symbolisiert der senkrechte Strich $|$ die Teilereigenschaft, bedeutet also soviel wie „ist Teiler von“. Die Besge'sche Formel ergibt sich dann, indem man als Funktion $f$ die Quadratfunktion wählt.

[1]

[2]

[A 1]

[3]

[A 2]

[4]

[A 3]