Formelsammlung Logik

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Dies ist eine Formelsammlung zum mathematischen Teilgebiet der Logik.

Logische Werte:

  • wahr (true) 1
  • falsch (false) 0

Erweiterte Logik:

Aussagen können durch logische Operatoren, auch Junktoren genannt, verknüpft werden. Die üblichen Junktoren sind:

Name Symbol sprachliche Umschreibung Operation Definition
Negator   nicht Negation Die Negation eines logischen Werts ist genau dann wahr, wenn der Wert falsch ist.
Konjunktor   und Konjunktion Die Konjunktion von zwei Werten ist genau dann wahr, wenn beide Werte wahr sind.
Disjunktor   oder Disjunktion Die Disjunktion von zwei Werten ist genau dann wahr, wenn mindestens ein Wert wahr ist.

Um die Symbole des Konjunktors und des Disjunktors leicht auseinanderhalten zu können, gibt es die Eselsbrücke mit den drei O: „Oder ist Oben Offen.“ Alternativ merkt man sich "And" (Englisch) für und, sowie "vel" (Latein) für oder.

Verknüpfungen zweier Aussagen

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Name sprachliche Umschreibung äquivalente Darstellungen Wahrheitstabelle Logik­gatter
durch Negator, Konjunktor und Disjunktor durch andere Junktoren A=1 A=0
B=1 B=0 B=1 B=0
Konjunktion A und B     1 0 0 0 AND
Exklusion, konträrer Gegensatz nicht zugleich A und B  ,    ,  ,   0 1 1 1 NAND
Disjunktion A oder B (oder beide)    ,   1 1 1 0 OR
Nihilition, Rejektion weder A noch B  ,   0 0 0 1 NOR
Kontravalenz, kontradiktorischer Gegensatz entweder A oder B  ,    ,   0 1 1 0 XOR
Bikonditional, Bisubjunktion, materiale Äquivalenz B dann und nur dann, wenn A; genau dann B, wenn A  ,    ,   1 0 0 1 XNOR
Konditional, Subjunktion, materiale Implikation Implikation wenn A, dann B    ,   1 0 1 1
Replikation wenn B, dann A    ,   1 1 0 1
Inhibition Postsektion A und nicht B     0 1 0 0
Präsektion B und nicht A     0 0 1 0

Logische Grundgesetze

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Gesetz der doppelten Negation  
Kommutativgesetze    
Assoziativgesetze    
Distributivgesetze    
Idempotenz    
Gesetze der Negation (Tautologie / Kontradiktion)    
Absorptionsgesetze    
Neutralität    
De Morgansche Gesetze    
Modus ponens  
Modus tollens  
Hypothetischer Syllogismus  
Disjunktiver Syllogismus  

Prädikatenlogik

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p ist Platzhalter für eine prädikatenlogische Aussageform.

   
   

  und   sind im Folgenden Platzhalter für prädikatenlogische Aussageformen. Die Umformungen in Zeilen 1, 2, 4 und 5 der Tabelle gelten nur, wenn x innerhalb von   nicht frei vorkommt, d. h., wenn durch das Verschieben des Quantors keine Variablenbindung entsteht (bzw. aufgelöst wird), die zuvor nicht da war (bzw. da war).

Unproblematisch ist das, wenn die Variablen in den Aussageformen   und   jeweils unterschiedlich benannt sind.

   
   
   
   
   

Minimale Schlussregeln

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Quasiordnung

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  ist im Folgenden eine Quasiordnung zwischen Aussagen.

 

Konjunktion

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  und   werden durch folgende Regeln definiert.

 

Disjunktion

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  und   werden durch folgende Regeln definiert.

 

Heyting-Implikation und -Negation

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  wird durch die Regel

 

definiert, und   per  .

Es gelten

  •  ,
  •   und
  •  .

Ko-Heyting-Implikation und -Negation

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Dual zu   und   sind   und  .

 ,

 .

Es gelten

  •  
  •   und
  •  .

Beziehung zwischen den Negationen

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Es gilt immer  . Gilt auch  , erhält man klassische Logik.

Quantoren

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Es sei   eine Abbildung. Eine beliebige Aussage   über Elemente von   kann per   in eine Aussage über  -Elemente transformiert werden; Notation:  .   ist ein Funktor. Sein Rechts- und Linksadjungierter ist der All- bzw. Existenzquantor, d. h.,

 .