In der Mathematik ist die Fox H-Funktion eine Verallgemeinerung der Meijer G-Funktion und der Fox–Wright Funktion, eingeführt von Charles Fox (1961). Die die Definition ist gegeben durch ein Mellin–Barnes-Integral

wobei ein bestimmter Weg ist, der die Pole der beiden Faktoren im Zähler trennt.

Plot of the Fox H function H((((a 1,α 1),...,(a n,α n)),((a n+1,α n+1),...,(a p,α p)),(((b 1,β 1),...,(b m,β m)),in ((b m+1,β m+1),...,(b q,β q))),z) with H(((),()),(((-1,½)),()),z)
Plot of the Fox H function H((((a 1,α 1),...,(a n,α n)),((a n+1,α n+1),...,(a p,α p)),(((b 1,β 1),...,(b m,β m)),in ((b m+1,β m+1),...,(b q,β q))),z) with H(((),()),(((-1,½)),()),z)

Beziehung zu anderen Funktionen

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Lambertsche W-Funktion

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Eine Relation der Fox H-Funktion zu den Zweig -1 der Lambertschen W-Funktion ist gegeben durch

 

wobei   das komplex-konjugierte von   ist.[1]

Meijer G-Funktion

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Vergleich zur Meijer G-Funktion

 

Der Spezialfall, für welchen die Fox H-Funktion zur Meijer G-Funktion reduziert wird, ist bei   für   und  .

 

Eine Verallgemeinerung der Fox H-Funktion ist geben von Ram Kishore Saxena[2] und Innayat Hussain AA (1987). Für eine weitere Verallgemeinerung, welche sich in der Physik und Statistik als nützlich erweisen wie A.M.Mathai und Ram Kishore Saxena zeigten,[3] siehe Rathie (1997).

Einzelnachweise

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  1. Pushpa Narayan and Luan Carlos de Sena Monteiro Rathie and Ozelim: On the Relation between Lambert W-Function and Generalized. In: Researchgate. Abgerufen am 1. März 2023 (englisch, hypergeometric, functions).
  2. A. M. Mathai, R. K. Saxena: Generalized hypergeometric functions with applications in statistics and physical sciences. Springer, Berlin, New York 1973, ISBN 978-0-387-06482-6 (englisch).
  3. Mathai, A. M.: The H-function with applications in statistics and other disciplines. Wiley, New York 1978, ISBN 978-0-470-26380-8 (englisch).