Fredholm-Determinante

Die Fredholm-Determinante ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der den Begriff der Determinante eines endlichdimensionalen linearen Operators verallgemeinert. Die Fredholm-Determinante hat Anwendungen in der Theorie der Zufallsmatrizen und der mathematischen Physik.

Die Funktion ist nach Erik Ivar Fredholm benannt, der sie beim Studium von Integralgleichungen einführte.

Definition

Sei $J_{1}$ die Familie aller Spurklasseoperatoren über einem $\mathbb {C} ^{n}$-wertigen Hilbertraum. Sei $K\in J_{1}$ und $\operatorname {Id}$ der Identitätsoperator, dann ist die Fredholm-Determinante $\operatorname {det} (\operatorname {Id} +K)$ definiert als

$\operatorname {det} (\operatorname {Id} +K):=\sum \limits _{j=0}^{\infty }\operatorname {tr} (K^{\wedge j})$.

Zur Erläuterung der rechten Seite sei $(e_{i})_{i\in I}$ eine Orthonormalbasis des zugrunde liegenden Hilbertraums $H$ mit einer wohlgeordneten Menge $I$. Das $j$-fache äußere Produkt $H^{\wedge j}$ ist der Hilbertraum mit Orthonormalbasis $e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{j}},\,i_{1}<\ldots <i_{j},\,i_{k}\in I$. Dann ist der durch $K^{\wedge j}(e_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{j}})\colon =Ke_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge Ke_{i_{j}}$ definierte Operator $K^{\wedge j}\colon H^{\wedge j}\rightarrow H^{\wedge j}$ ebenfalls ein Spurklasseoperator und man kann die Spur $\operatorname {tr} (K^{\wedge j})$ bilden. Damit ist die rechte Seite obiger Definition erklärt.

Diese Definition stammt von Alexander Grothendieck. Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen der Fredholm-Determinante, jede mit Vor- und Nachteilen. Für weitere Berechnungen eignet sich aber vor allem die Definition über die Graßmann-Algebra.

Eigenschaften

Wenn $K$ ein Integraloperator mit stetigem Integralkern $G$ ist, dann lässt sich der Ausdruck umschreiben zu

$\operatorname {tr} (K^{\wedge j})={\frac {1}{j!}}\sum \limits _{l_{1},\dots ,l_{j}=1}^{n}\int _{\mathbb {R} ^{j}}\det[G_{l_{s},l_{t}}(x_{s},x_{t})]_{s,t=1,\dots ,j}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{j}$,

wo bei $G_{l_{s},l_{t}}$ die Darstellung von $G$ bezüglich einer Schur-Basis bezeichnet.

Herleitung nach Fredholm

Seien $f(x),u(x)\in C[0,1]$ und $K(x,y)$ ein Integralkern auf dem Produktraum. Fredholm studierte die Integralgleichung

$f(x)=(I+K)u(x):=u(x)+\int _{0}^{1}K(x,y)u(y)\mathrm {d} y$.

Er ersetzte das Integral in der Gleichung durch eine riemannsche Summe und diskretisierte $f$ als $f_{i}=f(i/n)$. Somit entstand ein System von $n$ linearen Gleichungen der Form

$f_{i}=u_{i}+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{j}K_{ij}u_{j}$.

Das kann man nun als Matrix-Vektor-Produkt $(I+hK_{ij})u$ verstehen, wobei $h:=1/n$. Sei nun $D(1/n)$ die Determinante dieser Matrix in Relation zur Diskretisierungslänge, dann gilt durch Taylorentwicklung

$D(1/n)=\sum \limits _{m=0}^{n}a_{m}h^{m}:=\sum \limits _{m=0}^{n}{\frac {1}{m!}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} h}}\right)^{m}D(h)|_{h=0}h^{m}$

und somit

$D(1/n)=1+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i}K_{ij}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum \limits _{i,j}\operatorname {det} {\begin{pmatrix}K_{ii}&K_{ij}\\K_{ji}&K_{jj}\end{pmatrix}}+\cdots$

oder kompakt

$\operatorname {det} \left(I+n^{-1}K\right)=D(1/n)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}{\frac {1}{k!}}\int \cdots \int \operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1=i,j}^{k}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}$

und somit

$\operatorname {det} \left(I+\alpha K\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{k}}{k!}}\int \cdots \int \operatorname {det} [K(x_{i},x_{j})]_{1=i,j}^{k}\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{k}$.