Freie Faltung

Die freie Faltung ist eine binäre Operation auf Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $\mathbb {R}$, welche der Addition von freien Zufallsvariablen entspricht.

Definition

Seien $x$ und $y$ selbstadjungierte Zufallsvariable in einem nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitsraum, welche frei im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Sei $\mu$ die Verteilung von $x$ und $\nu$ die Verteilung von $y$. Dann hängt die Verteilung von $x+y$ nur von $\mu$ und von $\nu$ ab (und nicht von der konkreten Realisierung von $x$ oder von $y$); diese Verteilung von $x+y$ wird mit $\mu \boxplus \nu$ bezeichnet und ist die freie Faltung von $\mu$ und $\nu$.

Freie harmonische Analysis

Die Untersuchung der Eigenschaften von $\boxplus$ wird meist als freie harmonische Analysis bezeichnet. Es gibt eine weitentwickelte Theorie der Eigenschaften von $\boxplus$, welche oft (aber nicht immer) parallel zur Theorie der klassischen Faltung verläuft.

Literatur

• Alexandru Nica, Roland Speicher: Lectures on the Combinatorics of Free Probability (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 335). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2006, ISBN 0-521-85852-6.
• Fumio Hiai, Dénes Petz: The Semicircle Law, Free Random Variables, and Entropy (= Mathematical Surveys and Monographs. Bd. 77). American Mathematical Society, Providence RI 2000, ISBN 0-8218-2081-8.