Die Fußpunkt-Transformation ist in der Mathematik eine Operation, die aus einer Kurve in der Ebene eine neue Kurve, ihre Fußpunktkurve, bildet.

Mathematische Darstellung

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Fußpunkt-Transformation

Für die Konstruktion der Fußpunktkurve wird in der Ebene ein Punkt (der sog. Pol)   gewählt. Eine gegebene Kurve   wird dann wie folgt abgebildet: Einem Punkt   wird der Fußpunkt   des Lotes von   auf die Tangente von   in   zugeordnet.

Die Konstruktion des Bildpunktes lässt sich elementar beschreiben:   ist der Schnittpunkt der Tangente zu   in   mit dem Thaleskreis über  . Die Tangente an die Fußpunktkurve in   ist die Tangente an den Thaleskreis in  . Daraus ergibt sich auch die wichtige Erkenntnis, dass nicht die gesamte Kurve bekannt sein muss, um den Bildpunkt zu konstruieren, sondern nur der Punkt selber sowie die Richtung der Tangente.

Die Konstruktion des Bildpunktes lässt sich analytisch beschreiben: Wir legen dazu ein kartesisches Koordinatensystem durch den Pol   und denken uns den Punkt   durch Koordinaten   gegeben. Die Tangentenrichtung ist durch   festgelegt. Gesucht sind nun die Koordinaten   des Fußpunktes  . Wir werden außerdem die Tangentenrichtung   der Fußpunktkurve in   bestimmen.

Da der Punkt   auf der Tangenten zu   durch   sowie auf der Normalen durch   liegt, erfüllen seine Koordinaten   die Gleichungen

 
 

Daraus ergeben sich

 

und

 .

Weiterhin lässt sich mit der Differentialrechnung   bestimmen:

 

Eigenschaften

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Beispiele

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Im Folgenden ist der Begriff „Kurve“ in einem erweiterten Sinn zu verstehen, z. B. soll auch ein Punkt als Kurve verstanden werden.

  • Geraden
Fußpunktkurve einer Geraden ist ein Punkt: Zu jedem Punkt auf der Geraden ist die Tangente diese Gerade selbst. Es gibt genau einen Fußpunkt des Lotes der Geraden durch den Pol  .
  • Kreise
Fußpunktkurve eines Kreises, dessen Mittelpunkt der Pol   ist, ist der Kreis selber. Falls der Pol vom Zentrum des Kreises verschieden ist, sind die Fußpunktkurven komplizierter.
  • Punkte
Fußpunktkurve eines Punktes   ist der Kreis mit   als Durchmesser. Tangenten an einen Punkt sind alle möglichen Geraden durch diesen Punkt. Dass diese Definition Sinn ergibt, kann man sich erklären, indem Punkte als „degenerierte Kreise“ aufgefasst werden.
  • Parabeln, Kegelschnitte
Fußpunktkurve einer Parabel mit dem Pol   als Brennpunkt ist die Tangente an die Parabel durch deren Scheitelpunkt. Generell werden Kegelschnitte mit dem Pol   als Brennpunkt auf Kreise, deren Durchmesser die Hauptachse des Kegelschnitts ist, abgebildet.

Erhaltung von Linienelementen

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In der Mathematik wird ein Tripel   als Linienelement bezeichnet. Die analytischen Formeln der Fußpunkt-Transformation zeigen, dass Linienelemente ein-eindeutig aufeinander abgebildet werden.

Berühren sich zwei Kurven (d. h., sie haben neben einem Punkt auch die Tangente gemeinsam), so berühren sich die Fußpunktkurven im Bildpunkt.

Bedeutung

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Da die Fußpunkt-Transformation Linienelemente ein-eindeutig aufeinander abbildet, lässt sie sich als „Übertragungsprinzip“ im Sinne von Klein’s Erlanger Programm nutzen: Aus gewissen Sätzen über Punkte, Geraden und Kegelschnitte lassen sich direkt Sätze über Punkte, Geraden und Kreise beweisen und umgekehrt. Einige Beispiele von Sätzen, die durch Anwenden der Fußpunkt-Transformation übertragen lassen:

Fußpunkt-Transformation als Übertragungsprinzip
Sätze über Punkte, Geraden und Kegelschnitte Sätze über Punkte, Geraden und Kreise
Zwei Punkte bestimmen eine Gerade Zwei sich schneidende Kreise, die einen Punkt gemeinsam haben, haben noch einen weiteren Punkt gemeinsam.
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt Drei Punkte bestimmen einen und nur einen Kreis.
Ein Kegelschnitt ist durch einen Brennpunkt und drei Tangenten eindeutig bestimmt. Drei Punkte bestimmen einen und nur einen Kreis.
Es gibt acht Kegelschnitte mit dem gemeinsamen Brennpunkt  , die drei Kegelschnitte mit demselben gemeinsamen Brennpunkt berühren Es gibt acht Kreise, die drei gegebene Kreise berühren.

Literatur

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