Der Fußpunktkreis ist ein spezieller Kreis in der Dreiecksgeometrie, der durch ein Dreieck und einen Punkt in der Ebene definiert ist.

mit Seiten und Punkt
Fußpunkte von :
Umkreismittelpunkt:
Die grünen Strecken werden in der Radiusformel verwandt
Dreieck mit isogonal konjugierten Punkten und
6 Fußpunkte auf gemeinsamem Fußpunktkreis:
als Mittelpunkt des Fußpunktkreises und der Strecke
Winkelhalbierende:
4 Punkte und 4 Fußpunktkreise mit gemeinsamen Schnittpunkt

Definition

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Zu einem Dreieck   und einem Punkt   erhält man auf den (verlängerten) Dreiecksseiten drei Fußpunkte   des Punktes  . Der durch diese drei Fußpunkte definierte Kreis wird als Fußpunktkreis bezeichnet, er ist damit der Umkreis des Fußpunktdreiecks  .[1][2]

Eigenschaften

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Für den Radius   des Fußpunktkreises eines Dreiecks   mit Punkt   gilt die folgende Formel, in der Radius des Umkreises des Dreiecks mit   und dessen Mittelpunkt mit   bezeichnet sind:[2]

 

Der Nenner in der obigen Formel wird 0, wenn der Punkt   auf dem Umkreis des Dreiecks   liegt. Dies lässt sich als ein zu einer Geraden entarteter Kreis mit unendlichem Radius deuten. Diese gemeinsame Gerade, auf der die drei Fußpunkte   in diesen Fall liegen, ist die Simson-Gerade. Liegt der Punkt   auf dem Mittelpunkt des Inkreises, so ist der Fußpunktkreis mit dem Inkreis identisch. Liegt er auf dem Höhenschnittpunkt, so entspricht er dem Feuerbachkreis.[3]

Wenn der Punkt   nicht auf dem Umkreis des Dreiecks   liegt, dann besitzt der zu ihm isogonal konjugierte Punkt   denselben Fußpunktkreis. Die sechs Fußpunkte   und   liegen damit auf einem gemeinsamen Kreis, dessen Mittelpunkt stimmt mit dem Mittelpunkt der Strecke   überein.[1]

Der Satz von Griffiths besagt, dass alle Punkte  , die auf einer gemeinsamen Geraden durch den Mittelpunkt   des Umkreises von Dreieck   liegen, Fußpunktkreise besitzen, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.[4]

Zu vier Punkten in der Ebene, von denen keine drei auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kann man vier zugehörige Fußpunktkreise bestimmen, indem man mit je drei Punkten ein Dreieck   bildet und der vierte Punkt die Rolle des Punktes   einnimmt. Diese vier Fußpunktkreise besitzen einen gemeinsamen Schnittpunkt.[3]

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Commons: Pedal circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. a b Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 67–75
  2. a b Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 135–144, 155, 240
  3. a b Eric W. Weisstein: Pedal Circle. In: MathWorld (englisch).
  4. Eric W. Weisstein: Griffiths' Theorem. In: MathWorld (englisch).