In der Verkehrsplanung wird der Furness-Algorithmus zur Umlegung von Verkehrsstrom -Matrizen mit unelastischen Randsummenbedingungen benutzt. In diesen Matrizen sind das Quellverkehrsaufkommen
Q
i
{\displaystyle Q_{i}}
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
Nach dem Grundmodell der Zielwahl wird die Verkehrsmenge von
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
Modus
k
{\displaystyle k}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
k
{\displaystyle k}
v
i
,
j
,
k
=
B
i
,
j
,
k
⋅
f
q
i
⋅
f
z
j
⋅
f
a
k
{\displaystyle v_{i,j,k}=B_{i,j,k}\cdot fq_{i}\cdot fz_{j}\cdot fa_{k}}
Das Quellverkehrsaufkommen von
i
{\displaystyle i}
Q
i
=
∑
j
∑
k
v
i
,
j
,
k
.
{\displaystyle Q_{i}=\sum _{j}\sum _{k}{v_{i,j,k}}.}
Das Zielverkehrsaufkommen nach
j
{\displaystyle j}
Z
j
=
∑
i
∑
k
v
i
,
j
,
k
.
{\displaystyle Z_{j}=\sum _{i}\sum _{k}{v_{i,j,k}}.}
Das Verkehrsaufkommen eines Verkehrsmodus
k
{\displaystyle k}
A
k
=
∑
i
∑
j
v
i
,
j
,
k
.
{\displaystyle A_{k}=\sum _{i}\sum _{j}{v_{i,j,k}}.}
Die Faktoren
f
q
i
{\displaystyle fq_{i}}
f
z
j
{\displaystyle fz_{j}}
f
a
k
{\displaystyle fa_{k}}
iterativ mit dem Furness-Algorithmus berechnet:
Zu Beginn werden alle Faktoren auf 1 gesetzt.
f
q
i
(
0
)
=
f
z
j
(
0
)
=
f
a
k
(
0
)
=
1
{\displaystyle fq_{i}(0)=fz_{j}(0)=fa_{k}(0)=1}
Anschließend wird der Quellverkehrsfaktor
f
q
i
(
p
+
1
)
{\displaystyle fq_{i}(p+1)}
f
q
i
(
p
+
1
)
=
Q
i
∑
j
∑
k
B
i
,
j
,
k
⋅
f
z
j
(
p
)
⋅
f
a
k
(
p
)
{\displaystyle fq_{i}(p+1)={\frac {Q_{i}}{\sum _{j}\sum _{k}{B_{i,j,k}\cdot fz_{j}(p)\cdot fa_{k}(p)}}}}
Dieser Faktor wird zur Berechnung des Zielverkehrsfaktor
f
z
j
(
p
+
1
)
{\displaystyle fz_{j}(p+1)}
f
z
j
(
p
+
1
)
=
Z
j
∑
i
∑
k
B
i
,
j
,
k
⋅
f
q
i
(
p
+
1
)
⋅
f
a
k
(
p
)
{\displaystyle fz_{j}(p+1)={\frac {Z_{j}}{\sum _{i}\sum _{k}{B_{i,j,k}\cdot fq_{i}(p+1)\cdot fa_{k}(p)}}}}
Im dritten Schritt werden diese beiden Faktoren zur Berechnung des Modusfaktors
f
a
k
(
p
+
1
)
{\displaystyle fa_{k}(p+1)}
f
a
k
(
p
+
1
)
=
A
k
∑
i
∑
j
B
i
,
j
,
k
⋅
f
q
i
(
p
+
1
)
⋅
f
z
j
(
p
+
1
)
{\displaystyle fa_{k}(p+1)={\frac {A_{k}}{\sum _{i}\sum _{j}{B_{i,j,k}\cdot fq_{i}(p+1)\cdot fz_{j}(p+1)}}}}
Diese Faktoren werden anschließend für den nächsten Iterationsschritt verwendet.
Anmerkung: Der Einfachheit halber wird nur ein Modus berechnet.
Gegeben sei folgende Quelle-Ziel-Matrix:
V
j
∑
1
2
3
1
?
?
?
25
Q
i
2
?
?
?
75
3
?
?
?
200
∑
50
100
150
300
{\displaystyle {\begin{matrix}&&&V_{j}&&\sum \\&&1&2&3&\\&1&?&?&?&25\\Q_{i}&2&?&?&?&75\\&3&?&?&?&200\\\sum &&50&100&150&300\end{matrix}}}
und folgende Bewertungsmatrix:
B
i,j
1
2
3
1
0
,
5
0
,
75
0
,
25
2
0
,
75
0
,
5
1
3
0
,
25
1
0
,
5
{\displaystyle {\begin{matrix}B_{\text{i,j}}&1&2&3&\\1&0{,}5&0{,}75&0{,}25\\2&0{,}75&0{,}5&1\\3&0{,}25&1&0{,}5\\\end{matrix}}}
Im ersten Schritt berechne man nun
f
q1
(
1
)
,
f
q2
(
1
)
{\displaystyle f_{\text{q1}}(1),f_{\text{q2}}(1)}
f
q3
(
1
)
{\displaystyle f_{\text{q3}}(1)}
f
q1
(
1
)
=
25
0
,
5
∗
1
+
0
,
75
∗
1
+
0
,
25
∗
1
=
16,667
{\displaystyle f_{\text{q1}}(1)={\frac {25}{0{,}5*1+0{,}75*1+0{,}25*1}}=16{,}667}
f
q2
(
1
)
=
75
0
,
75
∗
1
+
0
,
5
∗
1
+
1
∗
1
=
33,333
{\displaystyle f_{\text{q2}}(1)={\frac {75}{0{,}75*1+0{,}5*1+1*1}}=33{,}333}
f
q3
(
1
)
=
200
0
,
25
∗
1
+
1
∗
1
+
0
,
5
∗
1
=
114,286
{\displaystyle f_{\text{q3}}(1)={\frac {200}{0{,}25*1+1*1+0{,}5*1}}=114{,}286}
Im zweiten Schritt berechne man nun
f
z1
(
1
)
,
f
z2
(
1
)
{\displaystyle f_{\text{z1}}(1),f_{\text{z2}}(1)}
f
z3
(
1
)
{\displaystyle f_{\text{z3}}(1)}
f
z1
(
1
)
=
50
0
,
5
∗
16,667
+
0
,
75
∗
33,333
+
0
,
25
∗
114,286
=
0,808
{\displaystyle f_{\text{z1}}(1)={\frac {50}{0{,}5*16{,}667+0{,}75*33{,}333+0{,}25*114{,}286}}=0{,}808}
f
z2
(
1
)
=
100
0
,
75
∗
16,667
+
0
,
5
∗
33,333
+
1
∗
114,286
=
0,697
{\displaystyle f_{\text{z2}}(1)={\frac {100}{0{,}75*16{,}667+0{,}5*33{,}333+1*114{,}286}}=0{,}697}
f
z3
(
1
)
=
150
0
,
25
∗
16,667
+
1
∗
33,333
+
0
,
5
∗
114,286
=
1,585
{\displaystyle f_{\text{z3}}(1)={\frac {150}{0{,}25*16{,}667+1*33{,}333+0{,}5*114{,}286}}=1{,}585}
Aus diesen Faktoren berechne man nun die erste Aufteilung der Verkehrsströme nach folgendem Muster:
v
2,1
=
B
2,1
∗
f
q
2,1
∗
2,1
=
0
,
75
∗
33,333
∗
0,808
=
20
,
2
{\displaystyle v_{\text{2,1}}=B_{\text{2,1}}*fq_{\text{2,1}}*_{\text{2,1}}=0{,}75*33{,}333*0{,}808=20{,}2}
V
j
∑
ber
∑
geg
v
i,j
1
2
3
1
6
,
7
8
,
7
6
,
6
22
,
1
25
Q
i
2
20
,
2
11
,
6
52
,
8
84
,
6
75
3
23
,
1
79
,
7
90
,
6
193
,
3
200
∑
ber
50
,
0
100
,
0
150
,
0
300
∑
geg
50
100
150
300
{\displaystyle {\begin{matrix}&&&V_{j}&&\sum _{\text{ber}}&\sum _{\text{geg}}\\&v_{\text{i,j}}&1&2&3&&\\&1&6{,}7&8{,}7&6{,}6&22{,}1&25\\Q_{i}&2&20{,}2&11{,}6&52{,}8&84{,}6&75\\&3&23{,}1&79{,}7&90{,}6&193{,}3&200\\\sum _{\text{ber}}&&50{,}0&100{,}0&150{,}0&300\\\sum _{\text{geg}}&&50&100&150&&300\\\end{matrix}}}
Nach dem ersten Schritt werden die Randsummen der Zielseite bereits sehr genau eingehalten. Die Randsummen der Quellseite weichen jedoch noch deutlich von den Vorgaben der Quelle-Ziel-Matrix ab. Nach einem weiteren Schritt wird diese jedoch schon deutlich genauer eingehalten:
V
j
∑
ber
∑
geg
v
i,j
1
2
3
1
7
,
7
9
,
6
7
,
6
24
,
9
25
Q
i
2
18
,
1
10
,
0
47
,
4
75
,
6
75
3
24
,
2
80
,
3
94
,
9
199
,
4
200
∑
ber
50
,
0
99
,
9
150
,
0
300
∑
geg
50
100
150
300
{\displaystyle {\begin{matrix}&&&V_{j}&&\sum _{\text{ber}}&\sum _{\text{geg}}\\&v_{\text{i,j}}&1&2&3&&\\&1&7{,}7&9{,}6&7{,}6&24{,}9&25\\Q_{i}&2&18{,}1&10{,}0&47{,}4&75{,}6&75\\&3&24{,}2&80{,}3&94{,}9&199{,}4&200\\\sum _{\text{ber}}&&50{,}0&99{,}9&150{,}0&300\\\sum _{\text{geg}}&&50&100&150&&300\\\end{matrix}}}
mit
f
q1
(
2
)
=
18,896
{\displaystyle f_{\text{q1}}(2)=18{,}896}
f
q2
(
2
)
=
29,533
{\displaystyle f_{\text{q2}}(2)=29{,}533}
f
q3
(
2
)
=
118,238
{\displaystyle f_{\text{q3}}(2)=118{,}238}
f
z1
(
2
)
=
0,818
{\displaystyle f_{\text{z1}}(2)=0{,}818}
f
z3
(
2
)
=
0,679
{\displaystyle f_{\text{z3}}(2)=0{,}679}
f
z3
(
2
)
=
1,606
{\displaystyle f_{\text{z3}}(2)=1{,}606}
