Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie versteht man unter einer Galileo-Folge (englisch Galileo sequence) eine Zahlenfolge natürlicher Zahlen, bei der für jede Partialsumme die darauf folgende doppelt so lange Partialsumme zu ersterer in einem festen natürlichzahligen Verhältnis steht. Die Bezeichnung verweist auf Galileo Galilei (1564–1642), der auf diese Art von Zahlenfolgen durch die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen aufmerksam wurde.[1][2]

Formale Beschreibung

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Sie lässt sich wie folgt angeben:[2]

Gegeben sei eine Zahlenfolge  [A 1] und die zugehörige Zahlenfolge   der Partialsummen mit

  .

Existiert dafür eine Zahl   derart, dass für jeden Index   stets

 

gilt, so nennt man diese gegebene Zahlenfolge eine Galileo-Folge.

Historischer Hintergrund

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Im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen zum freien Fall von Körpern erkannte Galileo Galilei, dass stets

 

gilt. Das bedeutet nichts weiter, als dass die Folge   der ungeraden natürlichen Zahlen hinsichtlich ihrer Partialsummenfolge   für   die folgende Gesetzmäßigkeit aufweist:

 ,

also

  mit  .

Dividiert man diese Gleichung durch  , so erkennt man die Gleichwertigkeit zur obigen formalen Beschreibung.

Rekursion

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Eine streng monoton wachsende Galileo-Folge erhält man zu einer gegebenen Zahl   vermöge Rekursion wie folgt:[2]

Startwerte:

 
 

und dann rekursiv:

    für    [A 2]
    für    

Beispiele

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  • Für   erhält man hier die (schon erwähnte) Folge   der ungeraden natürlichen Zahlen.[2]
  • Für   erhält man hier die Folge  .[2][A 3]
  • Für   erhält man hier die Folge  .[3]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Kenneth O. May: Galileo sequences, a good dangling problem. In: Amer. Math. Monthly, 79, S. 67–69
  2. a b c d e J. J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. 1999, S. 23.
  3. Tattersall, op. cit., S. 35&319

Anmerkungen

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  1. Hier ist stets   , also die Zahlenfolge aller ganzen Zahlen  .
  2.   ist die Gaußklammerfunktion.
  3. Bei Tattersall, op. cit., S. 23, fehlen die Einträge 27 und 28. Sie wurden nachträglich ergänzt.