Galileo-Folge

Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie versteht man unter einer Galileo-Folge (englisch Galileo sequence) eine Zahlenfolge natürlicher Zahlen, bei der für jede Partialsumme die darauf folgende doppelt so lange Partialsumme zu ersterer in einem festen natürlichzahligen Verhältnis steht. Die Bezeichnung verweist auf Galileo Galilei (1564–1642), der auf diese Art von Zahlenfolgen durch die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen aufmerksam wurde.

Formale Beschreibung

Sie lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben sei eine Zahlenfolge $\,\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3,\ldots }\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\,$ und die zugehörige Zahlenfolge $\left(S_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen mit

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}\,\,(n\in \mathbb {N} )\,$ .

Existiert dafür eine Zahl $k\in \mathbb {N}$ derart, dass für jeden Index $\,n\in \mathbb {N} \,$ stets

$\,{\frac {S_{2n}}{S_{n}}}=k+1\,$

gilt, so nennt man diese gegebene Zahlenfolge eine Galileo-Folge.

Historischer Hintergrund

Im Zusammenhang mit seinen Untersuchungen zum freien Fall von Körpern erkannte Galileo Galilei, dass stets

${\frac {1}{3}}={\frac {1+3}{5+7}}={\frac {1+3+5}{7+9+11}}=\dotsb$

gilt. Das bedeutet nichts weiter, als dass die Folge $\,\left(a_{i}\right)_{i=1,2,3,\ldots }=\left(2i-1\right)_{i=1,2,3,\ldots }\,$ der ungeraden natürlichen Zahlen hinsichtlich ihrer Partialsummenfolge $\,\left(S_{m}\right)_{m=1,2,3,\ldots }=\left(m^{2}\right)_{m=1,2,3,\ldots }\,$ für $\,n\in \mathbb {N} \,$ die folgende Gesetzmäßigkeit aufweist:

$S_{2n}-S_{n}=4\cdot n^{2}-n^{2}=3\cdot n^{2}\,\,$,

also

$S_{2n}-S_{n}=k\cdot S_{n}\,\,$ mit $\,k=a_{2}=3\,$.

Dividiert man diese Gleichung durch $S_{n}$, so erkennt man die Gleichwertigkeit zur obigen formalen Beschreibung.

Rekursion

Eine streng monoton wachsende Galileo-Folge erhält man zu einer gegebenen Zahl $k\in \mathbb {N} \,,\,k\geq 3\,,\,$ vermöge Rekursion wie folgt:

Startwerte:

$a_{1}=1$

$a_{2}=k$

und dann rekursiv:

$a_{2n-1}={\left\lfloor {\frac {(k+1)\cdot a_{n}-1}{2}}\right\rfloor }$   für   $n\geq 2$

$a_{2n}={\left\lfloor {\frac {(k+1)\cdot a_{n}}{2}}\right\rfloor }+1$   für   $n\geq 2$

Beispiele

• Für $\,k=a_{2}=3\,$ erhält man hier die (schon erwähnte) Folge $\left(1,3,5,7,9,11,13,15\dotsb \right)$ der ungeraden natürlichen Zahlen.
• Für $\,k=a_{2}=4\,$ erhält man hier die Folge $\left(1,4,9,11,22,23,27,28,54,56,\dotsb \right)$.
• Für $\,k=a_{2}=5\,$ erhält man hier die Folge $\left(1,5,14,16,41,43,47,49,\dotsb \right)$.

Literatur

• Kenneth O. May: Galileo sequences, a good dangling problem. In: American Mathematical Monthly. Band 79, 1972, S. 67–69 (MR0306099). 
• James J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-58531-7 (MR1720399). 
• David Zeitlin: A family of Galileo sequences. In: American Mathematical Monthly. Band 82, 1975, S. 819–822 (MR0379351).