Gaußsche isoperimetrische Ungleichung

Die gaußsche isoperimetrische Ungleichung ist in der Stochastik die isoperimetrische Ungleichung für den euklidischen Raum ausgestattet mit dem gaußschen Maß. Die Ungleichung sagt, dass unter allen Borel-Mengen im euklidischen Raum, die Halbräume das minimale gaußsche Oberflächenmaß besitzen.

Sie wurde von 1975 ([1]) von Christer Borell und unabhängig davon 1974 ([2]) von Wladimir Sudakow und Boris Tsirelson bewiesen.

Sei

  •   ein gaußscher Raum, der zusätzlich mit der euklidischen Metrik   ausgestattet ist, wobei   das kanonische  -dimensionale gaußsche Maß ist.
  •   die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung,
  •   ein Halbraum, der mit demselben gaußschen Maß   ausgestattet ist,
  •   eine Borel-Menge in  ,
  •   die kleinste Distanz zwischen   und  .
  •   ist die geschlossene euklidische Nachbarschaft der Menge   mit Radius  . Analog die gleiche Definition für  . Beachte,   ist ein weiterer Halbraum.

Sei nun  . Dann gilt für alle  , dass   das kleinste gaußsche Maß besitzt, das bedeutet

 

Als Konsequenz folgt daraus

 

Außerdem, falls   gilt, dann ist zusätzlich

 [3]

Verallgemeinerungen

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Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen, darunter die Bobkow-Ungleichung und die Ehrhard-Ungleichung.

Einzelnachweise

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  1. Christer Borell: The Brunn-Minkowski Inequality in Gauss Space. In: Inventiones Mathematicae. Band 30, Nr. 2, 1975, S. 207–216, doi:10.1007/BF01425510 (eudml.org).
  2. Wladimir N. Sudakow und Boris Tsirelson: Extremal properties of half-spaces for spherically invariant measures. In: Journal of Soviet Mathematics. Band 9, 1978, S. 9–18, doi:10.1007/BF01086099.
  3. M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.

Literatur

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  • D. W. Stroock: Gaussian Measures in Finite and Infinite Dimensions. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2023.
  • M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.
  • Michail Anatoljewitsch Lifschitz: Lectures on Gaussian Processes. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 2012.