Gauduchon-Metrik

Konzept der komplexen Geometrie

In der Mathematik sind Gauduchon-Metriken ein Konzept der komplexen Geometrie, welches das Konzept der Calabi-Yau-Metriken von Kähler-Mannigfaltigkeiten auf hermitesche Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Definition

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Ist   eine komplexe Mannigfaltigkeit und  , so heißt eine hermitesche Metrik   auf   Gauduchon-Metrik, wenn

 

gilt.

Gauduchon-Vermutung

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Die 2015 von Gábor Székelyhidi, Valentino Tosatti und Ben Weinkove bewiesene Gauduchon-Vermutung besagt, dass es auf einer kompakten, komplexen Mannigfaltigkeit   zu jeder die erste Chern-Klasse   repräsentierenden  -Form   eine Gauduchon-Metrik gibt, deren Ricci-Form   ist. Äquivalent: Zu jeder Volumenform   auf   gibt es eine Gauduchon-Metrik   mit  .

Hintergrund

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Für Kähler-Metriken entspricht die Gauduchon-Vermutung der von Yau bewiesenen Calabi-Vermutung. Das entsprechende Problem für hermitesche Metriken ohne zusätzliche Bedingungen ließe sich leicht durch eine konform äquivalente Metrik lösen. Für   ist jede hermitesche Metrik konform äquivalent zu einer bis auf Skalierung eindeutigen Gauduchon-Metrik, was die Gauduchon-Vermutung motivierte.

Literatur

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  • Gauduchon: La 1-forme de torsion d'une variété hermitienne compacte, Mathematische Annalen 267, 495–518 (1994).
  • Székelyhidi, Tosatti, Weinkove: Gauduchon metrics with prescribed volume form, Acta Mathematica 219, 181–211 (2017).