Gefärbtes Jones-Polynom

Das gefärbte Jones-Polynom ist eine Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie. Es hängt von einem Parameter $N\in \mathbb {N}$ ab und ordnet einer Verschlingung $L$ ein Laurent-Polynom $J_{N}(L,q)$ in einer Variablen $q$ zu. Für $N=2$ erhält man das Jones-Polynom.

Definition

Das gefärbte Jones-Polynom ist die der N-dimensionalen irreduziblen Darstellung von $sl(2,\mathbb {C} )$ entsprechende Quanteninvariante. Explizit wird sie mit der R-Matrix

$R_{kl}^{ij}:=\sum _{m=0}^{N-1-j,i}\delta _{l,i+m}\delta _{k,j-m}{\frac {\left\{l\right\}!\left\{N-1-k\right\}!}{\left\{i\right\}!\left\{m\right\}!\left\{N-1-j\right\}!}}q^{(-i-{\frac {N-1}{2}})(j-{\frac {N-1}{2}})-m{\frac {i-j}{2}}-{\frac {m(m+1)}{4}}}$

und dem durch $\mu (e_{j})=\sum _{i=0}^{N-1}\delta _{ij}q^{\frac {2i-N+1}{2}}e_{i}$ gegebenen Isomorphismus $\mu \colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} ^{N}$ konstruiert, siehe Quanteninvariante#Konstruktion via R-Matrizen. Hierbei ist $\left\{m\right\}:=q^{\frac {m}{2}}-q^{-{\frac {m}{2}}}$ und $\left\{m\right\}!=\left\{1\right\}\left\{2\right\}\ldots \left\{m\right\}$.

Alternativ kann man $J_{N}(L,q)$ als das Jones-Polynom der aus $N-1$ zu $L$ parallelen Verschlingungen bestehenden Verschlingung definieren. Dieser Ansatz ist aber für konkrete Berechnungen völlig unpraktikabel, weil die Zahl der Überkreuzungen quadratisch in $N$ wächst.

Beispiel

Das gefärbte Jones-Polynom der Kleeblattschlinge ist

$J_{N}(L,q)={\frac {q^{\frac {1-n}{2}}}{1-q^{-1}}}\sum _{k=0}^{n-1}q^{-kn}(1-q^{-n})(1-q^{1-n})\ldots (1-q^{k-n})$.

Das gefärbte Jones-Polynom des Achterknotens ist

$J_{N}(L,q)=q^{1-N}\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{k=0}^{n}\left(\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {1-q^{n-i}}{1-q^{i+1}}}\right)q^{n+k(k+1)}\left[\prod _{j=1}^{n}(1-q^{j-N})\right]\left[\prod _{i=1}^{n-k}(1-q^{k+i-N})\right]$.

Eigenschaften

• Das gefärbte Jones-Polynom ist multiplikativ unter verbundener Summe: $J_{N}(L_{1}\sharp L_{2},q)=J_{N}(L_{1},q)J_{N}(L_{2},q)$.
• Das gefärbte Jones-Polynom erfüllt eine Rekurrenzrelation.

Kashaev-Invariante

Die Kashaev-Invariante ist der Wert des gefärbten Jones-Polynoms an der N-ten Einheitswurzel:

$\langle L\rangle _{N}:=J_{N}(L,e^{\frac {2\pi i}{N}})$.

Die Volumenvermutung stellt einen Zusammenhang zwischen der Kashaev-Invariante und dem komplexen Volumen eines hyperbolischen Knotens her.

Literatur

• Wladimir Turajew: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Second revised edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 18. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2010. ISBN 978-3-11-022183-1
• P. M. Melvin, H. R. Morton: The coloured Jones function. Comm. Math. Phys. 169 (1995), no. 3, 501–520.

Weblinks

• The colored Jones polynomial