Die Gegenbauer-Polynome, auch ultrasphärische Polynome genannt, sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall
mit der Gewichtungsfunktion
, mit
. Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Lösung der Gegenbauer-Differentialgleichung. Die Polynome haben die Form
Gegenbauer-Polynome mit α=1
Gegenbauer-Polynome mit α=2
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\frac {\Gamma (\alpha +n-m)}{m!(n-2m)!}}(2z)^{n-2m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b863b8818a8da53be9920748f64b1fd0e4bc76c)
für
, andernfalls
![{\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)=\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\frac {(n-m-1)!}{m!(n-2m)!}}(2z)^{n-2m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2262ed758918dc831c424d010c7e31646f817970)
Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion
darstellen:
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha +n-1)!}{(2\alpha -1)!\,n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e03e9d694e2d45fd84ba112d2d78c7a72abcd30)
Der Wert für
ist
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={n+2\alpha -1 \choose n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e940291805e1b55a566ecb8295231f4a2b45009)
Die ersten Polynome haben die Gestalt:
![{\displaystyle C_{0}^{(\alpha )}(z)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3bebb541fc6a3470f7b425bfa59c2f2d6ee5369)
![{\displaystyle C_{1}^{(\alpha )}(z)=2\alpha z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a4f6c738e72cca4c2ff28587973e006a064571)
![{\displaystyle C_{2}^{(\alpha )}(z)=-\alpha +2\alpha (1+\alpha )z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761b94cb955672471d1db26239f071ec4e01109a)
![{\displaystyle C_{3}^{(\alpha )}(z)=-2\alpha (1+\alpha )z+4/3\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ebaf0070e7129bfa1e4bbfacc7ca4909714bef)