Gaußsche hypergeometrische Funktion

Unter der hypergeometrischen Funktion , auch als Gaußsche hypergeometrische Funktion oder als gewöhnliche hypergeometrische Funktion bezeichnet, versteht man in der Mathematik eine Potenzreihe, welche Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung ist. Sie ist ein Spezialfall der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion.

Die Funktion geht einher mit bedeutenden Mathematikern wie Leonhard Euler, Bernhard Riemann oder Carl Friedrich Gauß. Sie findet häufig Anwendung in der mathematischen Physik.

Definition

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Die hypergeometrische Funktion ist für   definiert über die Potenzreihe

 

für  , wobei   keine nichtpositive ganze Zahl ist und die Funktion   die Gammafunktion darstellt. Mit

 

ist das aufsteigende Pochhammer-Symbol gemeint (die letzte Gleichheit folgt aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion).

Wäre   eine nichtpositive ganze Zahl, so wäre   für große  . Daher ist die hypergeometrische Funktion für solche   nicht definiert.

Konvergenz

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Diese Potenzreihe wird zu einem Polynom, wenn   oder   eine nichtpositive ganze Zahl ist.

Sofern sie kein Polynom ist, konvergiert die Potenzreihe für   und ist divergent für  . Werte der Funktion   für   sind durch analytische Fortsetzung bestimmt; Verzweigungspunkte sind die Punkte   und  .

Zur Konvergenz auf dem Rand   kann folgendes gesagt werden: Die Potenzreihe konvergiert absolut für  , wenn  , und zwar im Fall   gegen

 

Falls   gilt und   reell ist, lässt sich die folgende Konvergenzbedingung angeben:[1]

 .

Die hypergeometrische Differentialgleichung

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Die Funktion genügt, wie von Euler angegeben, einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung. Durch Einsetzen von   erkennt man, dass die oben angegebene Reihe die nachstehende hypergeometrische Differentialgleichung erfüllt:

 

Die Reihe ist damit partikuläre Lösung der Differentialgleichung. Die Lösung gilt für den Bereich um die singulären Punkte   und  . Mit Varianten der gewöhnlichen hypergeometrischen Funktion können schließlich alle Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben werden.

Euler gab zudem eine Integraldarstellung für die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:

 

Jede Differentialgleichung mit drei hebbaren singulären Punkten kann durch Transformation der Variablen in die hypergeometrische Differentialgleichung überführt werden.

Anwendungen

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Spezielle Funktionen

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Viele in der Mathematik übliche Funktionen können durch die Gaußsche hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden. Einige Identitäten, die für   gelten, sind:

 
 
 
 
 

Eine Funktion ist:

 [2]

wobei   die Jacobi-Polynomfunktion ist.

Stammfunktionen

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Mit der hypergeometrischen Funktion lassen sich u. a. folgende elementare Stammfunktionen angeben:

 
 

Berechnung der hypergeometrischen Funktion

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Die hypergeometrische Funktion kann prinzipiell über ihre Reihen-Entwicklung berechnet werden. Nach Gauß konvergiert die Reihe für reelle sowie komplexe Werte   sicher. Häufig kommt es aber zu ungünstigen Konstellationen, welche die Berechnung erheblich erschweren. Der Funktionswert im Bereich   kann praktisch bereits erhebliche Probleme verursachen. Hier sind Transformationen sowie Lösungen für spezielle Funktionswerte hilfreich. Für den Wert   gilt etwa:

 

Weiterhin ist die lineare Transformation

 

sehr hilfreich bei ungünstigen Konstellationen der Koeffizienten. Weitere Verfahren, spezielle Lösungen sowie Transformationen finden sich über die unten angegebenen Weblinks.

Siehe auch

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Literatur

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  • Leonhard Euler: Specimen transformationis singularis serierum. In: Nova Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 12. Jahrgang, 1801, S. 58 – 70 (maa.org).
  • Carl Friedrich Gauss: Disquisitiones generales circa seriem infinitam    . In: Commentationes recentiores Bd. II. Göttingen 1813 (Latein, google.com).
  • Ernst Eduard Kummer: Über die hypergeometrische Reihe  . In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 15. Jahrgang, 1836 (uni-goettingen.de).
  • Bernhard Riemann: Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen. In: Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 7. Jahrgang. Verlag der Dieterichschen Buchhandlung, Göttingen 1857 (uni-goettingen.de).
  • Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Francesco G. Tricomi: Higher transcendental functions, Volume I, Chapter II, Seite 56–99, New York – Toronto – London, McGraw–Hill Book Company, Inc., 1953, ISBN 978-0-89874-206-0, pdf
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Einzelnachweise

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  1. J. Quigley, K.J. Wilson, L. Walls, T. Bedford: A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates In: Risk Analysis 2013. doi:10.1111/risa.12035.
  2. Gauss hypergeometric function 2F1: Representations through equivalent functions (formula 07.23.27.0001). Abgerufen am 18. Februar 2023.