Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion

Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die die Gaußsche hypergeometrische Funktion und letztlich die geometrische Reihe verallgemeinert. Sie wird zur Klasse der speziellen Funktionen gezählt.

Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion enthält viele wichtige Funktionen als Spezialfälle, allen voran die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. In der Tat gibt es eine große Zahl von Funktionen, die sich als eine hypergeometrische Funktion schreiben lassen.

Definition

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Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion wird definiert durch

 ,

wobei   die Gammafunktion ist. Die Koeffizienten   und die Parameter   sind dabei so zu wählen, dass die Potenzreihen für ein geeignetes   konvergieren.

Weitere übliche Notation der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion lauten

  und  

Durch die Wahl der Koeffizienten   und   werden schließlich spezielle hypergeometrische Funktionen konstruiert, etwa die Kummersche hypergeometrische Funktion ( ) oder mit   und   die Gaußsche hypergeometrische Funktion.

Konvergenzbedingungen

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Unter gewissen Bedingungen sind die Potenzreihen divergent und ermöglichen somit keine Darstellung einer allgemeinen hypergeometrischen Funktion. Insbesondere gibt es Bedingungen für   und   bei denen die Ausdrücke   bzw.   in der Potenzreihe Divergenzen erzeugen.

Beispiel 1
 
Bei der Berechnung wurde die Funktionalgleichung der Gammafunktion   mit der Identität   verwendet.
Beispiel 2
 

Außer bei den durch die Wahl der Parameter bedingten Divergenzen kann das Quotientenkriterium für Reihen angewandt werden:

  • Wenn   ist, dann ist nach dem Quotientenkriterium das Verhältnis der Koeffizienten beschränkt und tendiert gegebenenfalls gegen 0. Dies impliziert, dass die Reihe für jedes endliche   konvergiert und somit eine ganze Funktion darstellt. Ein Beispiel hierfür ist die Reihe der Exponentialfunktion.
  • Wenn   ist, so zeigt das Quotientenkriterium, dass das Verhältnis der Koeffizienten gegen 0 strebt. Dies impliziert, dass die Reihe für   konvergiert und für   divergiert. Um zu prüfen, ob die Reihe für große Werte von   konvergiert, wird eine analytische Betrachtung empfohlen. Die Frage nach der Konvergenz für   ist nicht einfach zu beantworten. Es kann in diesem Fall gezeigt werden, dass die Reihe für   absolut konvergiert, wenn:
 .
Falls   und   reell ist, lässt sich die folgende Konvergenzbedingung angeben[1]:
 .
  • Wenn   ist, liefert das Quotientenkriterium ein unbegrenzt wachsendes Verhältnis der Koeffizienten. Dies impliziert, dass die Reihe selbst im Falle von   divergiert. Unter diesen Voraussetzungen erhält man eine divergente oder asymptotische Reihe. Andererseits kann die Reihe als eine Kurzschreibweise für eine Differentialgleichung aufgefasst werden, die der Summengleichung genügt.

Eigenschaften

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Aufgrund der Ordnung (des Grades) des Parameters   und des Parameters   kann die allgemeine hypergeometrische Funktion geändert werden, ohne den Wert der Funktion zu ändern. Wenn also   gleich einem der Parameter   ist, so kann die Funktion um diese beiden Parameter „gekürzt“ werden, mit gewissen Ausnahmen für Parameter mit nichtpositiven Werten. Zum Beispiel ist

 .

Eulers Integraltransformation

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Die nachfolgende Identität ermöglicht es, die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion höherer Ordnung als Integralausdruck der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion nächst niedriger Ordnung darzustellen.[2]

 

Differentialgleichung

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Die allgemeine hypergeometrische Funktion genügt dem Differentialgleichungssystem:

(1) 
(2) 
(3) 

Die Zusammenfassung dieser drei Gleichungen ergibt eine Differentialgleichung mit  :

 .

Anmerkungen:

  • Differentialgleichung (1)
 
Es ist zu beachten, dass im Falle   für die Differentialgleichung (1) die rechte Seite der Gleichung nicht existiert, da die Parameter   nicht existierten und ebenso auf der linken Seite die Parameter   verschwinden und daher lediglich die Ableitung   multipliziert mit   berechnet werden kann.
  • Differentialgleichung (2)
 
Auch hier gilt es festzustellen, dass für   die Differentialgleichung (2) auf die Gestalt   reduziert wird, da die Parameter   nicht existieren.
  • Differentialgleichung (3)
 
Hierbei ist der Quotient der Produkte   für die Parameter   so aufzufassen, dass
 
und
 
Für den Fall, dass  , ergibt sich auf Grund der vorausgegangenen Festlegung   und die Differentialgleichung (3) nimmt folgende Gestalt an
 

Spezielle hypergeometrische Funktionen

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Die Funktion 0F0

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Wie eingangs angedeutet, entspricht   der Exponentialfunktion. Die Funktion erfüllt die Differentialgleichung:

 
Beweis
 

Die Funktion 0F1

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Die Funktion vom Typ   ist die sog. konfluente hypergeometrische Grenzfunktion. Die Reihe genügt der Differentialgleichung:

 

Sie steht eng in Zusammenhang mit den Besselfunktionen:

  wobei   die Besselfunktion ist
  mit   als modifizierte Besselfunktion

Abgeleitete Funktionen der Reihe sind beispielsweise:

 

oder

 .
Beispiel

Betrachtet werden soll die Kosinusfunktion:

 

Hier nutzten wir, dass   ist und somit   usw. Wie man sieht, kürzen sich die Terme   überall heraus; die verbleibenden Brüche kann man leicht zusammenfassen zu

 

Die Funktion 1F0

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Ebenfalls direkt als elementare Funktion erfüllt   die Differentialgleichung:

 
Beweis
 

Hierbei wurde der Binomialkoeffizient in der Analysis mit der Identität   benutzt. Das Resultat stellt die binomische Reihe dar.

Die Funktion 1F1

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Die Funktion   heißt Kummersche Funktion (nach Ernst Eduard Kummer). Sie wird vielfach auch als konfluente hypergeometrische Reihe bezeichnet und genügt der Kummerschen Differentialgleichung:

 

Abgeleitete Funktionen sind beispielsweise:

  wobei   die unvollständige Gammafunktion ist

oder

 

Die Kummersche Funktion lässt sich auch als verallgemeinerte Laguerre-Polynome darstellen:

 [3]

Die Funktion 2F0

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Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Integralexponentialfunktion   auf.

Die Funktion 2F1

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Historisch am bedeutendsten ist die hypergeometrische Funktion  . Sie wird auch als Gaußsche hypergeometrische Funktion, gewöhnliche hypergeometrische Funktion, oder oft einfach nur als hypergeometrische Funktion bezeichnet. Zur Unterscheidung wird für   die Bezeichnung verallgemeinerte hypergeometrische Funktion verwendet, da sonst leicht Verwechslungsgefahr besteht. Die Funktion wurde als erstes vollständig von Carl Friedrich Gauß untersucht, insbesondere zur Konvergenz. Sie erfüllt die Differentialgleichung

 ,

welche als Hypergeometrische Differentialgleichung bezeichnet wird.

Die Funktion 3F0

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Die Funktion taucht in Zusammenhang mit dem Mottpolynom auf.

Die Funktion 3F1

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Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Besselfunktion auf.

Weitere Verallgemeinerungen

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Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden, indem man Vorfaktoren vor dem   einführt und so die Komplexität der Funktion weiter erhöht. Allein um das Vorzeichen von   zu modifizieren wären zwei weitere Indizes nötig:

 

Sind diese Vorfaktoren nicht notwendig ganzzahlig, so erhält man als Verallgemeinerung die Fox–Wright Funktionen.

Hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument

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Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix-Argument. In der Literatur verzichtet man häufig auf den Wortzusatz verallgemeinert im Namen der Funktion, wegen der Länge des Namens. Sie ist definiert als unendliche Summe von Jack-Polynomen zum Parameter  . Die Funktion mit Parameter   tritt häufig in der multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen auf, dann hat man eine Summe von zonalen Polynome, das sind Jack-Polynome mit C-Normalisierung.

Sei   eine Partition und   eine komplexe symmetrische Matrix. Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als

 

wobei   das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol ist,   das Jack-Polynom zum Parameter   und die innere Summe über alle Partitionen von   läuft.[4]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. J. Quigley, K.J. Wilson, L. Walls, T. Bedford: A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates In: Risk Analysis 2013. doi:10.1111/risa.12035.
  2. Lucy Joan Slater: "Generalized Hypergeometric Functions" In: "Cambridge University Press." 1966 ISBN 0-521-06483-X (2008 ist ein Reprint als Taschenbuch erschienen: ISBN 978-0-521-09061-2)
  3. Kummer confluent hypergeometric function 1F1: Representations through equivalent functions (formula 07.20.27.0001). Abgerufen am 18. Februar 2023.
  4. Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 34 (englisch).