Verallgemeinertes Pochhammer-Symbol

In der Mathematik ist das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol eine Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols. Die Funktion tritt in der Theorie der Zufallsmatrizen, in der Theorie der multivariablen orthogonalen Polynome und in der multivariaten Statistik auf.

Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol trägt den Namen von Leo August Pochhammer.

Definition

Sei

• $\kappa =(k_{1},\dots ,k_{p})$ eine Partition von $n\in \mathbb {N} _{0}$, das heißt, es gilt $n=k_{1}+\dots +k_{p}$ und $k_{1}\geq \cdots \geq k_{p}\geq 0$ wobei $k_{1}\,\cdots ,k_{p}\in \mathbb {N} _{0}$.
• $l(\kappa )$ die Länge der Partition $\kappa$, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet $l((2,1,0,0))=2$),
• $(a)_{k}$ ist das Pochhammer-Symbol respektive die steigende Faktorielle

$(a)_{k}={\frac {\Gamma (a+k)}{\Gamma (a)}}=\prod \limits _{j=1}^{k}(a+j-1).$

Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol mit Parameter $\alpha$ zur Partition $\kappa$ ist definiert als

$(a)_{\kappa }^{\alpha }:=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}\right)_{k_{i}}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\prod \limits _{j=1}^{k_{i}}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+j-1\right)$.

Ausgedrückt mit Hilfe der Gamma-Funktion

$(a)_{\kappa }^{\alpha }=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}{\frac {\Gamma \left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+k_{i}\right)}{\Gamma \left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}\right)}}$.

Den Fall $\alpha =1$ nennt man auch verallgemeinerte hypergeometrische Koeffizienten und ist

$(a)_{\kappa }^{1}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\left(a-i+1\right)_{k_{i}}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\prod \limits _{j=1}^{k_{i}}\left(a-i+j\right).$

Dieser Fall taucht in der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument auf.

Literatur

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch).