Generischer Punkt

Begriff der algebraischen Geometrie

Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition

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Ein Punkt   eines topologischen Raumes   heißt generisch, wenn   der Abschluss der Teilmenge   ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass   in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

Eigenschaften

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  • Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
  • Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T0, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
  • In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
  • Ist   ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes  , so ist der Abschluss von   in   eine irreduzible Teilmenge   von  , und   ist ein generischer Punkt von  .

Beispiel aus der algebraischen Geometrie

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Ist   ein Integritätsring, so ist das Nullideal   der (einzige) generische Punkt des Spektrums  ; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von  .

Bedeutung für die algebraische Geometrie

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Ist   ein irreduzibles Schema und   sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von   äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für  . Ist beispielsweise   eine kohärente Garbe auf  , so ist   äquivalent zu   für alle   in einer geeigneten offenen Teilmenge von  .

Verwandte Begriffe

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Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.

Literatur

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  • Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.