Geometrische Folge

Eine geometrische Folge ist in der Mathematik eine Zahlenfolge, bei der benachbarte Folgenglieder stets im selben Verhältnis zueinander stehen. Die Summierung der Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt eine geometrische Reihe.

Definition

Enge Definition

Eine Zahlenfolge $\left(a_{n}\right)$ heißt geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, d. h. stets ein und derselben Zahl entspricht. Wird diese Zahl mit $q$ („Quotient“) bezeichnet, so gilt also für jeden Folgenindex $n$ :^[1]

{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q

.

Hierbei muss $q\neq 0$ vorausgesetzt werden, da ansonsten gar nicht für alle Nachbarglieder das Verhältnis ${\tfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ existieren würde.^{[A 1]}

Weite Definition

Aus der obigen Gleichung erhält man durch Multiplikation mit $a_{n}$ den Zusammenhang

a_{n+1}=a_{n}\cdot q

.

Alternativ wird eine geometrische Folge auch durch diese Gleichung definiert.^[2]^[3] Dabei muss der Fall $q=0$ nicht mehr ausgeschlossen werden.

Berechnung

Die Glieder $a_{1},a_{2},\ldots$ einer geometrischen Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ lassen sich aus dem jeweils vorhergehenden Glied berechnen durch die Rekursionsformel

a_{n+1}=a_{n}\cdot q

.

Alternativ lässt sich jedes Folgenglied auch direkt berechnen. Zur Herleitung einer entsprechenden Formel benutzt man wiederholt die Rekursionsformel und setzt die Zwischenergebnisse ein:

{\begin{aligned}a_{1}&=a_{0}\cdot q\\a_{2}&=a_{1}\cdot q=(a_{0}\cdot q)\cdot q=a_{0}\cdot q^{2}\\a_{3}&=a_{2}\cdot q=(a_{0}\cdot q^{2})\cdot q=a_{0}\cdot q^{3}\\&\vdots \end{aligned}}

Allgemein erhält man für das Glied $a_{n}$ einer geometrischen Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ die explizite Formel

a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}

.

Manchmal wird das Anfangsglied auch mit $a_{1}$ bezeichnet. Dann lautet die Formel für das Glied $a_{n}$ entsprechend

a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}

.

Mithilfe der geschlossenen Formel lässt sich eine geometrische Folge mit Anfangsglied $a_{0}$ und Quotienten $q$ schreiben als $(a_{0}q^{n})$ .

Zahlenbeispiele

Die geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=5$ und dem Quotienten $q=3$ lautet $5,\ 15,\ 45,\ 135,\ 405,\ 1215,\ 3645,\ 10935,\ 32805,\ \dotsc$ Allgemein ist $a_{n}=5\cdot 3^{n}$ .

Die Glieder der geometrischen Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=1$ und dem Quotienten $q=-{\tfrac {1}{2}}$ lautet ${\textstyle +1,\ -{\frac {1}{2}},\ +{\frac {1}{4}},\ -{\frac {1}{8}},\ +{\frac {1}{16}},\ -{\frac {1}{32}},\ +{\frac {1}{64}},\ -{\frac {1}{128}},\ +{\frac {1}{256}},\ \dotsc }$ Allgemein ist ${\textstyle a_{n}=1\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=(-1)^{n}/2^{n}}$ .
Die konstante Folge $2,2,2,\ldots$ ist eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied $a_{0}=2$ und dem Quotienten $q=1$ .

Anwendungsbeispiele

Die geometrische Folge beschreibt Wachstums- oder Schrumpfungsprozesse, bei denen sich die Messgröße zum Zeitpunkt $n+1$ aus der Messgröße zum Zeitpunkt $n$ durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor $q$ ergibt. Beispiele:

Zinseszins

Bei einem Zinssatz von fünf Prozent vermehrt sich das Kapital jedes Jahr um den Faktor 1,05. Das Kapital entwickelt sich also von Jahr zu Jahr wie die Glieder einer geometrischen Folge mit dem Verhältnis $q=1{,}05$ . Die Zahl $q$ heißt in diesem Zusammenhang Zinsfaktor. Bei einem Startkapital von 1000 Euro ergibt sich

nach einem Jahr ein Kapital von

1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05=1050\,{\text{Euro}},

nach zwei Jahren ein Kapital von

1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05^{2}=1102{,}50\,{\text{Euro}},

nach drei Jahren ein Kapital

1000\,{\text{Euro}}\cdot 1{,}05^{3}=1157{,}63\,{\text{Euro}}

und so weiter.

Unelastischer Stoß

Ein Ball wird von einer Anfangshöhe $h_{0}$ auf den Boden fallen gelassen. Nach jedem Aufprall mit dem Boden springt er wieder nach oben, verliert jedoch aufgrund von Reibung einen festen Prozentsatz $p\%$ seiner Sprunghöhe. Dann bilden die Sprunghöhen $h_{n}$ des Balls nach dem $n$ -ten Aufprall eine geometrische Folge mit Anfangsglied $h_{0}$ und Verhältnis $q=1-p\%$ .

Gleichstufige Stimmung

Es gibt mehrere Arten, wie ein Musikinstrument gestimmt werden kann. Eine davon ist die gleichstufige Stimmung. Bei ihr ist das Frequenzverhältnis zwischen zwei benachbarten Tönen immer konstant. Bei zwölf Tönen in der Oktave lautet die Folge hier:

f(n)=a_{0}\cdot \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{n}

,

wobei $a_{0}$ beispielsweise die Frequenz des Kammertons und $i$ die Halbtonschrittentfernung zum Kammerton ist. $f(i)$ ist dann die Frequenz des gesuchten Tones mit Halbtonabstand $i$ zum „Ursprungston“ $a_{0}$ .

Der Wachstumsfaktor ist also $q={\sqrt[{12}]{2}}$ .

Konvergenz geometrischer Folgen

Bei der Untersuchung des Konvergenzverhaltens einer unendlichen geometrischen Folge $(a_{0}q^{n})$ müssen verschiedene Fälle unterschieden werden: Für $a_{0}=0$ liegt die konstante Folge $0,0,\ldots$ vor, die gegen den Wert null konvergiert. Für $a_{0}\neq 0$ hängt das Konvergenzverhalten von $q$ ab:

Fall 1: Für $q=-1$ springen die Folgenglieder immer zwischen $a_{0}$ und $-a_{0}$ hin und her, also divergiert die Reihe.

Fall 2: Für $q=1$ handelt es sich um die konstante Folge $a_{0},a_{0},\ldots$ , und diese konvergiert gegen $a_{0}$ .

Fall 3: Ist $|q|>1$ , so geht wegen $a_{n+1}=a_{n}\cdot q$ jedes Folgenglied $a_{n+1}$ durch eine Vergrößerung aus seinem Vorgänger hervor, d. h. die Folgenglieder werden immer größer. Da die Vergrößerung prozentual ist, werden aber auch die Zuwächse immer größer, also muss die Folge divergieren.

Fall 4: Für $|q|<1$ ist ${\textstyle 1/|q|>1}$ , also ${\textstyle 1/|q|=1+\delta }$ für ein $\delta >0$ (1). Wenn nun $\varepsilon >0$ gegeben ist, so gibt es nach dem Archimedischen Axiom ein $N\in \mathbb {N}$ , so dass ${\textstyle n\delta >1/\varepsilon }$ für alle $n>N$ (2). Aus (1) und (2) folgt zusammen mit der Bernoullischen Ungleichung:

\left(1/|q|\right)^{n}=(1+\delta )^{n}\geq 1+n\delta \geq n\delta >1/\varepsilon

für alle

n>N

,

also

|q^{n}|=|q|^{n}<\varepsilon

für alle

n>N

.

Das bedeutet, dass $(q^{n})$ eine Nullfolge ist. Dann konvergiert aber auch $(a_{0}q^{n})$ gegen Null.

Namensherkunft

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer (positiven) geometrischen Folge (außer dem Anfangsglied) ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder:

a_{i+1}\cdot a_{i-1}=a_{0}q^{i-1}\cdot a_{0}q^{i+1}=a_{0}^{2}q^{2i}=(a_{0}q^{i})^{2}=a_{i}^{2}

.

Folglich ist

a_{n}={\sqrt {a_{i+1}\cdot a_{i-1}}}.

Siehe auch

Anmerkungen

↑ Wäre $q=0$ das konstante Verhältnis einer Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ , so wäre insbesondere ${\tfrac {a_{1}}{a_{0}}}=0$ , woraus $a_{1}=0$ folgen würde. Damit wäre aber schon das Verhältnis ${\tfrac {a_{2}}{a_{1}}}$ wegen des Verbots der Division durch 0 überhaupt nicht definiert.

Quellenverzeichnis

↑ Jochen Schwarze: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Auflage. NWB Verlag, Herne / Berlin 2005, ISBN 3-482-51562-X, S. 166.
↑ Eric W. Weisstein: Geometric Sequence. MathWorld, abgerufen am 10. November 2019 (englisch).
↑ Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 106.

[2] Wäre $q=0$ das konstante Verhältnis einer Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ , so wäre insbesondere ${\tfrac {a_{1}}{a_{0}}}=0$ , woraus $a_{1}=0$ folgen würde. Damit wäre aber schon das Verhältnis ${\tfrac {a_{2}}{a_{1}}}$ wegen des Verbots der Division durch 0 überhaupt nicht definiert.

[1] Jochen Schwarze: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Auflage. NWB Verlag, Herne / Berlin 2005, ISBN 3-482-51562-X, S. 166.

[3] Eric W. Weisstein: Geometric Sequence. MathWorld, abgerufen am 10. November 2019 (englisch).

[4] Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 106.

[1]

[A 1]

[2]

[3]