Geometrisches Programm

spezielles Problem der mathematischen Optimierung

Ein geometrisches Programm ist ein spezielles Problem der mathematischen Optimierung, bei dem als Ziel- und Restriktionsfunktionen eine Verallgemeinerung von Polynomen zum Einsatz kommt. Insbesondere haben Geometrische Programme zwei Formen, von denen aber nur eine zur konvexen Optimierung zählt.

Definition

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Ein Optimierungsproblem der Form

 

heißt geometrisches Programm (in Posynomialform), wenn die   Posynomialfunktionen sind und die   Monomialfunktionen sind. Die Einschränkung   ist hierbei stets implizit vorausgesetzt.

Beispiel

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Das Optimierungsproblem

 

ist ein Geometrisches Programm.

Konvexe Form

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Ein Geometrisches Programm lässt sich durch elementare Substitutionen in ein konvexes Optimierungsproblem transformieren.

Dazu setzt man zuerst   bzw.  . Damit wird jede Monomialfunktion

 

transformiert zu

 ,

wobei   und   ist. Posynomialfunktionen lassen sich analog als Summe von Exponentialfunktionen von affinen Funktionen ausdrücken. Durch Anwenden dieser Transformation und anschließendes Logarithmieren erhält man dann das Optimierungsproblem

 

welches Geometrisches Programm in konvexer Form genannt wird. Es ist ein konvexes Optimierungsproblem. Wenn alle Funktionen Monomialfunktionen sind, vereinfacht sich dieses Problem zu einem linearen Optimierungsproblem.

Beispiel für die konvexe Form

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Transformiert man das oben angeführte Geometrische Programm in Posynomialform in die Geometrische Form, so lautet es

 .

Literatur

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