Graßmann-Schema

In der algebraischen Geometrie parametrisiert das Graßmann-Schema die $d$-dimensionalen Unterräume des $R^{n}$ für beliebige Ringe $R$.

Definition

Der Graßmann-Funktor

${\mathcal {G}}(d,n)\colon \left\{{\mathcal {Rings}}\right\}\to \left\{{\mathcal {Sets}}\right\}$

bildet einen Ring $R$ auf die Menge der direkten Summanden vom Rang $d$ des $R^{n}$ ab.

Das Graßmann-Schema $G(d,n)$ ist ein diesen Funktor darstellendes Schema. Es soll also gelten

${\mathcal {G}}(d,n)(R)=Mor(Spec(R),G(d,n))$

für jeden Ring $R$.

Aus dem Lemma von Yoneda folgt, dass $G(d,n)$ eindeutig bestimmt ist. Die unten angegebene Konstruktion zeigt, dass es tatsächlich existiert.

Konstruktion

Das Graßmann-Schema wird wie folgt konstruiert:

$G(d,n)=Proj(\mathbb {Z} \left[x_{I}\right]/I_{d,n})$,

wobei die Indexmenge $I$ der Variablen die $\left({\begin{array}{c}n\\d\end{array}}\right)$ verschiedenen $d$-elementigen Teilmengen von $\left\{1,\ldots ,n\right\}$ durchläuft und $I_{d,n}$ das von den Graßmann-Plücker-Relationen erzeugte Ideal ist.

Für $k=\mathbb {R}$ (oder allgemeiner $k$ einen Körper) ist $G(d,n)(k)$ die Menge der abgeschlossenen Punkte der klassischen Graßmann-Varietät.

Literatur

• Eisenbud-Harris: The Geometry of Schemes. Lecture Notes in Mathematics 197, Springer-Verlag New York. online