Grenzbedingungen (Elektrodynamik)

Grenzbedingungen sind Stetigkeitsbedingungen, welche in der klassischen Elektrodynamik zwischen zwei unterschiedlichen Medien gelten. Sie stellen die Randwerte bei den Maxwellgleichungen im Übergangsbereich zwischen unterschiedlichen Materialien dar.

Allgemeine Grenzbedingungen

Die Felder in den beiden Medien werden mit den Indizes 1 und 2 gekennzeichnet.

${\hat {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0$

${\hat {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=\sigma _{\text{frei}}$

${\hat {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0$

${\hat {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)={\vec {j}}_{\text{frei}}$

dabei ist

${\hat {n}}$ der Normalenvektor auf der Grenzfläche,
$\sigma _{\text{frei}}$ die Flächenladungsdichte freier Ladungen an der Grenzfläche
und ${\vec {j}}_{\text{frei}}$ die freie Stromdichte, die den Strom pro Flächeneinheit an der Grenzfläche angibt.

Diese Grenzbedingungen sagen aus: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Die Tangentialkomponente des H-Feldes springt um ${\vec {j}}_{\mathrm {frei} }$ und die Normalkomponente des D-Feldes springen um $\sigma _{\mathrm {frei} }$ .^[1]

Grenzbedingungen für ungeladene Isolatoren

Für ungeladene Isolatoren vereinfachen sich obige Beziehungen, da es dort keine freien Ladungen $\sigma _{\text{frei}}=0$ und somit auch keine freien Ströme gibt ${\vec {j}}_{frei}=0$ .

${\hat {n}}\times \left({\vec {E}}_{2}-{\vec {E}}_{1}\right)=0$

${\hat {n}}\cdot \left({\vec {D}}_{2}-{\vec {D}}_{1}\right)=0$

${\hat {n}}\cdot \left({\vec {B}}_{2}-{\vec {B}}_{1}\right)=0$

${\hat {n}}\times \left({\vec {H}}_{2}-{\vec {H}}_{1}\right)=0$

Die Stetigkeitsbedingungen in Worten: Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig. Zusätzlich sind hier die Tangentialkomponente des H-Feldes und die Normalkomponente des D-Feldes stetig.^[1]

Grenzbedingungen von isotropen, zeitinvarianten Materialien

In isotropen und zeitinvarianten Materialien gelten die Zusammenhänge

{\begin{aligned}{\vec {D}}&=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathrm {r} }{\vec {E}}\\{\vec {B}}&=\mu _{o}\mu _{\mathrm {r} }{\vec {H}}\end{aligned}}

Daraus können die restlichen Komponenten der Felder bestimmt werden.

{\begin{array}{ccclccccl}E_{1}^{\parallel }&=&E_{2}^{\parallel }&&\qquad \qquad &\varepsilon _{1}E_{1}^{\perp }&=&\varepsilon _{2}E_{2}^{\perp }&-{\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}\\{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}D_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}D_{2}^{\parallel }&&&D_{1}^{\perp }&=&D_{2}^{\perp }&-\sigma _{\text{frei}}\\H_{1}^{\parallel }&=&H_{2}^{\parallel }&-{\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {frei} }\times {\hat {n}})&&\mu _{1}H_{1}^{\perp }&=&\mu _{2}H_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\mu _{1}}}B_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\mu _{2}}}B_{2}^{\parallel }&-\mu _{0}{\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {frei} }\times {\hat {n}})&&B_{1}^{\perp }&=&B_{2}^{\perp }\\\end{array}}

oder in nicht-leitenden, ungeladen Materialien

{\begin{array}{cccccc}E_{1}^{\parallel }&=&E_{2}^{\parallel }&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &\varepsilon _{1}E_{1}^{\perp }&=&\varepsilon _{2}E_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\varepsilon _{1}}}D_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\varepsilon _{2}}}D_{2}^{\parallel }&&D_{1}^{\perp }&=&D_{2}^{\perp }\\H_{1}^{\parallel }&=&H_{2}^{\parallel }&&\mu _{1}H_{1}^{\perp }&=&\mu _{2}H_{2}^{\perp }\\{\frac {1}{\mu _{1}}}B_{1}^{\parallel }&=&{\frac {1}{\mu _{2}}}B_{2}^{\parallel }&&B_{1}^{\perp }&=&B_{2}^{\perp }\\\end{array}}

Dabei ist

$\varepsilon _{\mathrm {r} }$ die relative Permittivität,
$\mu _{\mathrm {r} }$ die relative Permeabilität,

$E^{\parallel }$ die Komponente des E-Feldes tangential zur Oberfläche und $E^{\perp }$ die Komponente normal zur Oberfläche.
${\hat {t}}$ ist der normierte Vektor in Richtung der Tangentialkomponente. Für ${\vec {B}}^{\parallel }$ tangential zu ${\vec {j}}_{\mathrm {frei} }$ gilt damit ${\hat {t}}\cdot ({\vec {j}}_{\mathrm {frei} }\times {\hat {n}})=|{\vec {j}}_{\mathrm {frei} }|$ .

Siehe auch

Fußnoten und Einzelnachweise

↑ ^a ^b Mit Tangentialkomponente ist diejenige Komponente gemeint, die tangential zur Grenzfläche liegt, analog bezeichnet die Normalkomponente die Komponente in Richtung des Normalenvektors der Grenzfläche.

[tangential-normal-1] Mit Tangentialkomponente ist diejenige Komponente gemeint, die tangential zur Grenzfläche liegt, analog bezeichnet die Normalkomponente die Komponente in Richtung des Normalenvektors der Grenzfläche.

[1]