In der Mathematik ist das Gromov-Produkt, benannt nach Michail Leonidowitsch Gromow, ein Konzept aus der Theorie der metrischen Räume. Anschaulich misst es, wie lange zwei in einem Punkt startende Geodäten "nahe beieinander" bleiben.

Definition

Bearbeiten

Es sei   ein metrischer Raum und  . Das Gromov-Produkt von   und   in   ist definiert als

 
 
Beispiel eines metrischen Baumes, alle Kanten haben Länge 1.
 
Euklidische Ebene:  

Beispiele

Bearbeiten

In einem metrischen Baum ist   genau die Länge der Schnittmenge der (eindeutigen) kürzesten Verbindungen von   nach   und von   nach  . Im Bild rechts (alle Kanten sollen Länge 1 haben) ist

 .

Euklidische Ebene

Bearbeiten

Für ein Dreieck ABC in der euklidischen Ebene   ist   gerade die Länge des Abschnittes auf der Strecke   (oder  ) von   bis zum Berührpunkt der Strecke mit dem Inkreis des Dreiecks. Im Bild rechts unten ist  .

Eigenschaften

Bearbeiten
  • Symmetrie:  .
  • Degeneration in Endpunkten:  .
  • Für alle   und  ,
 
 
 
 
  • Das Gromov-Produkt misst, wie lange Geodäten nahe beieinander bleiben: wenn   und   drei Punkte eines  -hyperbolischen metrischen Raumes sind, dann entfernen sich die Segmente der Länge   der beiden Geodäten von   nach   und von   nach   nicht mehr als Abstand   voneinander.
 

Gromov-Rand

Bearbeiten

Der Gromov-Rand   eines δ-hyperbolischen metrischen Raumes   ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von Folgen   mit   (sogenannten zulässigen Folgen, anschaulich handelt es sich um gegen unendlich divergierende Folgen) bzgl. der Äquivalenzrelation

 

für einen beliebigen (fest gewählten) Basispunkt  . Die Topologie des Gromov-Randes wird festgelegt durch die Umgebungsbasis

 

Das Gromov-Produkt lässt sich zu einer stetigen Funktion

 

fortsetzen.

Literatur

Bearbeiten
  • Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988. Edited by É. Ghys and P. de la Harpe. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. ISBN 0-8176-3508-4