Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis $C(\mathbb {Q} )$ besteht aus den Punkten $(x,y)$ mit rationalen Koordinaten, für die $x^{2}+y^{2}=1$ gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen $a,b,c$ gegeben, wobei $c$ die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt $({\tfrac {a}{c}},{\tfrac {b}{c}})$. Ist umgekehrt $(x,y)$ ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $xc,yc,c$, wobei $c$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von $x$ und $y$ ist.

Gruppenoperation

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt $(1,0)$. Die Gruppenoperation oder „Summe“ ist $(x,y)+(t,u)=(xt-uy,xu+yt)$. Geometrisch ist dies die Winkeladdition, wenn $x=\cos(\alpha )$ und $y=\sin(\alpha )$, wobei $\alpha$ der Winkel des Radiusvektors $(x,y)$ mit dem Radiusvektor $(1,0)$ im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also $(x,y)$ und $(t,u)$ jeweils mit $(1,0)$ die Winkel $\alpha$ und $\beta$ bilden, ist deren Summe $(xt-uy,xu+yt)$ der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha +\beta$ im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt $(x,y)$ mit der komplexen Zahl $x+yi$, so entspricht die Addition in $C(\mathbb {Q} )$ der Multiplikation in $\mathbb {C}$.

Gruppenstruktur

Die Gruppe $C(\mathbb {Q} )$ ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von $C(\mathbb {Q} )$:

$C(\mathbb {Q} )\cong C_{2}\oplus \left(\bigoplus _{p\in \mathbb {P} , \atop p\equiv 1{\pmod {4}}}C_{p}\right),$

wobei $C_{2}$ die durch $(0,1)$ erzeugte Untergruppe ist, und die $C_{p}$ jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form $\left({\tfrac {a^{2}-b^{2}}{p}},{\tfrac {2ab}{p}}\right)$ mit $a,b\in \mathbb {N} ,a>b>0,a^{2}+b^{2}=p$ erzeugt werden, wobei $p$ eine Pythagoreische Primzahl ist.

Diese Aussage ist eine Anwendung von Hilberts Satz 90 auf das Problem der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, siehe dazu bei: Lin Tan.

Literatur

• Lin Tan: The Group of Rational Points on the Unit Circle. In: Mathematics Magazine. Bd. 69, Nr. 3, June 1996, S. 163–171, doi:10.2307/2691462, Digitalisat (PDF; 792 kB) (Memento vom 8. März 2012 im Internet Archive) oder direkt https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1997/0025570x.di021195.02p0087x.pdf.
• Ernest J. Eckert: The Group of Primitive Pythagorean Triangles. In: Mathematics Magazine. Bd. 57, Nr. 1, January 1984, S. 22–26, doi:10.2307/2690291.