Gute Überdeckung

In der Mathematik sind gute Überdeckungen ein Hilfsmittel in der Topologie von Mannigfaltigkeiten. Gute Überdeckungen sind Überdeckungen durch offene Mengen, deren endliche Durchschnitte alle zusammenziehbar sind.

Definition für Mannigfaltigkeiten

Es sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $(U_{i})_{i\in I}$ eine Überdeckung von $M$ durch offene Mengen $U_{i}$. Die Überdeckung ist eine gute Überdeckung, wenn alle endlichen Durchschnitte

$U_{i_{0}}\cap \ldots \cap U_{i_{p}}$

(mit $i_{0},\ldots ,i_{p}\in I$) diffeomorph zum $\mathbb {R} ^{n}$ sind.

Existenz

Jede parakompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit hat eine gute Überdeckung. Wenn die Mannigfaltigkeit kompakt ist, gibt es endliche gute Überdeckungen.

Beweisskizze

Wähle eine Riemannsche Metrik auf der Mannigfaltigkeit. In einer Riemannschen Mannigfaltigkeit hat jeder Punkt eine geodätisch konvexe Umgebung und die Durchschnitte geodätisch konvexer Umgebungen sind wieder geodätisch konvex. Eine geodätisch konvexe Teilmenge einer $n$-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit ist diffeomorph zum $\mathbb {R} ^{n}$, woraus die Behauptung folgt.

Kofinalität

Die guten Überdeckungen sind kofinal in der Menge aller Überdeckungen, d. h. zu jeder Überdeckung gibt es eine Verfeinerung, die eine gute Überdeckung ist.

Anwendungen

Gute Überdeckungen werden bei Beweisen mittels "Mayer-Vietoris-Argumenten" benötigt, d. h. wenn Aussagen zunächst lokal bewiesen und dann mittels Mayer-Vietoris-Sequenzen globalisiert werden sollen. Typische Beispiele sind die Beweise der Poincaré-Dualität, der Künnethformel, des Satzes von Leray-Hirsch und des Thom-Isomorphismus.

Definition für topologische Räume

Es sei $X$ ein topologischer Raum und $(U_{i})_{i\in I}$ eine Überdeckung von $X$ durch offene Mengen $U_{i}$. Die Überdeckung ist eine gute Überdeckung, wenn alle endlichen Durchschnitte

$U_{i_{0}}\cap \ldots \cap U_{i_{p}}$

(mit $i_{0},\ldots ,i_{p}\in I$) zusammenziehbar sind.

(Diese Definition ist etwas allgemeiner als die oben im Spezialfall von Mannigfaltigkeiten gegebene. Dies macht im Fall parakompakter Mannigfaltigkeiten jedoch keinen Unterschied, weil jede parakompakte Mannigfaltigkeit sogar im obigen Sinn eine gute Überdeckung hat.)

Nicht jeder topologische Raum hat eine gute Überdeckung. Zum Beispiel gibt es topologische Räume, in denen nicht jeder Punkt eine zusammenziehbare Umgebung hat.

Jedoch gilt im Fall von Simplizialkomplexen, dass es stets gute Überdeckungen gibt und dass die guten Überdeckungen kofinal in der Menge aller Überdeckungen sind.

Literatur

• Bott, Raoul; Tu, Loring W.: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4

Weblinks

• good open cover in nlab