Gyroskopische Stabilisierung

Die gyroskopische Stabilisierung oder Drallstabilisierung ist in der Kreiseltheorie ein Effekt, mit dem an sich labile Systeme durch eingebaute zyklische Mechanismen in ihrer räumlichen Ausrichtung stabilisiert werden. Bei den zyklischen Mechanismen handelt es sich meist um symmetrische Kreisel. Im Alltag ist der Effekt erfahrbar bei rasch drehenden Spielkreiseln, die gegen Störungen bemerkenswert unempfindlich sind, oder einem in den Händen gehaltenen, schwungvoll rotierenden Rad, das der Richtungsänderung seiner Achse Widerstand entgegensetzt.

Die Theorie der gyroskopischen Stabilisierung befasst sich mit der Frage, unter welchen Umständen eine Stabilisierung gelingt, was keineswegs immer möglich ist. William Thomson, 1. Baron Kelvin und Peter Guthrie Tait konnten zeigen,

1. dass nur Systeme mit einer geraden Anzahl von labilen Freiheitsgraden gyroskopisch stabilisiert werden können, wobei indifferente Freiheitsgrade im Allgemeinen zu den labilen zu zählen sind,
2. dass wenn keine Dämpfung vorhanden ist, die Stabilisierung einer geraden Anzahl von labilen Freiheitsgraden stets erzwungen werden kann und
3. dass bei vorhandener Dämpfung gyroskopische Stabilisierung nur mit Hilfe künstlich angefachter Freiheitsgrade möglich ist.

Von den hier angesprochenen Freiheitsgraden sind die Drehwinkel um die Figurenachse (genauer die zyklischen Koordinaten) der Kreisel ausgenommen.

Anwendung findet die gyroskopische Stabilisierung in Schiffen (Schiffskreisel), Raumflugkörpern, Kreiselinstrumenten und Trägheitsnavigationssystemen sowie in der Ballistik, siehe #Anwendungen.

Stabilisierung eines Schwungrads

Schwungrad zur Erläuterung der Drallstabilisierung

Die gyroskopische Stabilisierung tritt beim Schwungrad auf, bei dem der Massenmittelpunkt im Koordinatenursprung drehbar fixiert ist und die Figurenachse (anfänglich in y-Richtung) frei ist, sodass sie ihre Richtung beliebig ändern kann, siehe Bild. Auf dieses ansonsten kräftefreie Schwungrad wirke eine kurze Zeit in z-Richtung ein konstantes Moment M_z, das das Schwungrad in Drehung um z versetzt. Diese Drehung macht sich am ruhenden und rotierenden Schwungrad jedoch unterschiedlich bemerkbar:

1. Ruht das Schwungrad, dann beginnt es durch das Moment um z zu rotieren. Nachdem das Moment aufgehört hat zu wirken, verharrt das Schwungrad in der Drehung um z, der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z nimmt monoton zu und ist un­beschränkt. Die Winkelgeschwindigkeit und der Drehimpuls haben nur eine Komponente und die weist in z-Richtung. Der Neigungswinkel ϑ zwischen Figurenachse und Momentenachse z bleibt unverändert.
2. Rotiert das Schwungrad anfänglich hinreichend schnell um die Figurenachse, dann zeigt sich ein anderes Bild. Zwar führt das Moment auch hier zu einer linearen Zunahme des Drehimpulses in z-Richtung, aber weil sich diese Komponente zum anfänglichen (als viel größer angenommenen) Drehimpuls in y-Richtung vektoriell addiert, der Drehimpuls also weiter vor allem in y-Richtung orientiert ist, und Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit einen spitzen Winkel einschließen (siehe Trägheitsellipsoid), dreht das Schwungrad weiter vor allem um die y-Achse. Dadurch bleibt der Drehwinkel ψ der Figurenachse um z beschränkt. Nach der Regel vom gleichsinnigen Parallelismus versucht der Kreisel seine Drehung dem angreifenden Moment anzugleichen, wodurch der Winkel ϑ abnimmt.

Ursache für den geringen Einfluss des Moments auf die Drehung des rotierenden Schwungrads um z sind Trägheitskräfte, die, wie im Folgenden geschildert, Gegenmomente aufbauen. Es zeigt sich, dass die Figurenachse unter dem Moment eine Schwingung um z ausführt:

${\ddot {\psi }}+\left({\frac {L}{A}}\right)^{2}\psi ={\frac {M_{z}}{A}}$

Darin ist L der anfängliche axiale Drehimpuls um die Figurenachse und A das äquatoriale Hauptträgheitsmoment. Die Schwingungsgleichung ist eine Näherung, die nur bei kleiner Auslenkung ψ gültig ist. Aus ${\dot {\vartheta }}=-{\tfrac {L}{A}}\psi$ kann mit ψ auch ϑ berechnet werden.

Für die Stabilisierung ist dabei die freie Drehungsmöglichkeit der Figurenachse um die äquatorialen Achsen entscheidend. Wird die Drehachse durch Lager an die xy-Ebene gebunden, können die Momente der Trägheitskräfte nicht ihr Potenzial entfalten und es tritt keine Drallstabilisierung auf.

Für die Herleitung der Schwingungsgleichung wird der übliche Fall voraus gesetzt, dass das Schwungrad ein oblater Kreisel ist, sein Trägheitsmoment C um die Figurenachse also größer ist als die äquatorialen Trägheitsmomente A. Andernfalls wären die Kreiselwirkungen in x-Richtung umgekehrt orientiert. Anders als im Bild soll der Winkel ψ von der y-Achse aus zählen und es wird der vom Drallsatz bekannte Zusammenhang M = L ω benutzt, demgemäß ein Moment M zur Drehgeschwindigkeit ω eines zu ihm senkrechten Drehimpulses L führt und umgekehrt eine solche Drehung ein Moment hervor ruft.

1. Das kleine Moment M_z dreht das Schwungrad mit Drehimpuls L in y-Richtung zunächst (langsam) um die z-Achse und der Winkel ψ zur Figurenachse nimmt gemäß der Beschleunigungsgleichung $A{\ddot {\psi }}=M_{z}$ zu. Der Beschleunigungsterm $A{\ddot {\psi }}$ ist eine Kreiselwirkung in -z-Richtung, die sich aus Euler-Kräften speist.
2. So bekommt die Winkelgeschwindigkeit eine kleine Komponente in z-Richtung und die Neigung ϑ der Drehachse gegenüber der Vertikalen verringert sich entsprechend $A{\ddot {\vartheta }}=-L{\dot {\psi }}\rightarrow {\dot {\vartheta }}=-{\tfrac {L}{A}}\psi$. Diese Winkelbeschleunigung um x zieht Euler-Kräfte nach sich, die in Summe eine Kreiselwirkung in -x-Richtung hervorbringen.
3. In gleicher Weise wie das Moment M_z die Kreiselwirkung in -x-Richtung hervor ruft, so entsteht durch letztere eine weitere Kreiselwirkung $L{\dot {\vartheta }}=-{\tfrac {L^{2}}{A}}\psi$ in -z-Richtung, die der Beschleunigungsgleichung im ersten Schritt hinzu zu fügen ist: $A{\ddot {\psi }}=M_{z}-{\tfrac {L^{2}}{A}}\psi$, was auf obige Schwingungsgleichung führt.
4. Ganz analog wie das Moment M_z eine entgegengesetzte Kreiselwirkung auslöst, besitzt auch die Kreiselwirkung in -x-Richtung eine Widersacherin in +x-Richtung, die sich aus den Zentrifugalkräften im Schwungrad speist und die ebenfalls zur Kreiselwirkung in -z-Richtung beiträgt.

Während sich die Kreiselwirkungen in -z-Richtung ($A{\ddot {\psi }}$ und ${\tfrac {L^{2}}{A}}\psi$) genau zu M_z summieren, löschen sich die Kreiselwirkungen in x- und y-Richtung genau aus. Das Moment der Euler-Kräfte ist dort antiparallel zum Moment der Zentrifugalkräfte. Auf diese Weise bleiben die Drehimpulse in x- und y-Richtung gegenüber dem Anfangszustand unverändert.

Kelvin-Tait’sche Gleichungen

Indem die speziellen Eigenschaften gyroskopischer Mechanismen ausgenutzt werden, resultieren aus den Lagrange-Gleichungen die Kelvin-Tait’schen Gleichungen, mit denen die Wirkung eingebauter und unsichtbar laufender Kreisel analytisch behandelt wird.

Bei Kreiseln gibt es häufig Koordinaten φ_k, die in der Bewegungsenergie nicht selber, sondern nur mit ihrer Zeitableitung vorkommen. In der Gesamtenergie

$E={\frac {1}{2}}\left(A{\dot {\psi }}^{2}\sin(\vartheta )^{2}+A{\dot {\vartheta }}^{2}+C{\dot {\varphi }}^{2}\right)$

obigen Schwungrads, siehe Herleitung der Bewegungsfunktion des Lagrange-Kreisels mit c₀ = 0, sind φ und ψ solche Variablen, wobei φ zudem durch das äußere Moment M_z nicht merklich beeinflusst wird, solange der Neigungswinkel ϑ nahezu ein rechter ist.

Im Lagrange-Formalismus werden die φ_k zyklische Koordinaten genannt und sind die zugehörigen generalisierten Kräfte Q_k, wie beim Drehwinkel φ des Schwungrads oben, gleich Null, handelt es sich um ein zyklisches System. Dort sind die generalisierten Impulse Φ_k zu den zyklischen Koordinaten φ_k konstant (Im Fall des Schwungrads ist der axiale Drehimpuls L diese Konstante.) Indem in den Lagrange-Gleichungen die zyklischen Koordinaten zugunsten ihrer konstanten generalisierten Impulse eliminiert werden – eine Idee, die auf Edward Routh zurückgeht – entstehen die Kelvin-Tait’schen Gleichungen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial F_{1}({\dot {q}}_{1,2,3})}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial F_{1}({\dot {q}}_{1,2,3})}{\partial q_{k}}}+G_{k1}{\dot {q}}_{1}+G_{k2}{\dot {q}}_{2}+G_{k3}{\dot {q}}_{3}=Q_{k}+{\frac {\partial F_{2}(\Phi _{1,2})}{\partial q_{k}}}\;,\quad k=1,2,3$

Sie sind für den Spezialfall zweier zyklischer φ_k und dreier weiterer, nicht zyklischer, generalisierter Koordinaten q_k angeschrieben, die aus den drei Gleichungen berechnet werden können. Die Funktionen F_1,2 sind zusätzlich und die Terme G_kl ausschließlich von den q_1,2,3 abhängig, was in der Gleichung aus Platzgründen unterschlagen wurde. Die gyroskopischen Terme G_kl werden durch die Antisymmetrie

G_kl = -G_lk und G_ll = 0, k,l=1,2,3

charakterisiert. In den Kelvin-Tait’schen Gleichungen kommen die zyklischen Koordinaten φ_k nicht mehr vor; sie werden deshalb verborgene oder kinosthenische Koordinaten genannt in Abgrenzung zu den sichtbaren Koordinaten q_k. Sind aus den Kelvin-Tait’schen Gleichungen die sichtbaren Koordinaten berechnet, können anschließend die verborgenen ermittelt werden. Erweisen sich diese ebenfalls als Festwerte, so heißt das System isozyklisch.

An den Gleichungen kann die dreifache Wirkung eingebauter und unsichtbar laufender Kreisel abgelesen werden:

1. Die Trägheit des Systems ist scheinbar verändert, denn die kinetische Energie ist durch den Wert F₁ ersetzt, zu dem in der Regel vergrößerte Trägheiten beitragen.
2. Zu der "sichtbaren" generalisierten Kraft Q_k tritt eine scheinbare Kraft ${\tfrac {\partial F_{2}}{\partial q_{k}}}$ hinzu.
3. Die gyroskopischen Glieder G_kl bedeuten eine durch die verborgenen Bewegungen erzeugte gyroskopische Kopplung zwischen den sichtbaren Koordinaten. Sie erscheinen als gyroskopische Kräfte der verborgenen Kreisel, hervor gerufen durch Kreiselwirkungen, die im Ganzen keine Leistung erbringen.

Voraussetzungen für die gyroskopische Stabilisierung

In diesem und dem folgenden Abschnitt werden die drei eingangs genannten Sätze von Kelvin und Tait analytisch begründet.

Bei einem System mit n stabilen oder labilen Freiheitsgraden q_k können in Abwesenheit von gyroskopischen Kopplungen die Bewegungsgleichungen bei kleinen Störungen eines Gleichgewichtszustands in der Form

$B_{k}{\ddot {q}}_{k}+K_{k}{\dot {q}}_{k}+H_{k}q_{k}=0\,,\qquad k=1,2,\ldots ,n$

geschrieben werden. Darin sind

• B_k die stets positiven "Trägheitskoeffizienten",
• K_k die meist positiven Dämpfungsziffern und
• H_k die "Rückstellkoeffizienten".

Die Lösungen dieser Schwingungsgleichungen lauten

$q_{k}=b_{k}e^{\sigma t}\quad {\text{mit}}\quad \sigma _{1,2}={\frac {1}{2B_{k}}}\left(-K_{k}\pm {\sqrt {K_{k}^{2}-4B_{k}H_{k}}}\right)$

Darin ist e^x die e-Funktion und t die Zeit. Bei negativem H_k ist jedenfalls eines der σ_1,2 positiv, was ein unablässiges Anwachsen von q_k, also Labilität zur Folge hat. Bei H_k > 0 liegt hingegen Stabilität vor mit aperiodisch oder schwingend abklingendem q_k.

Bei einem gyroskopisch gekoppelten System resultieren aus den Kelvin-Tait’schen Gleichungen gekoppelte Schwingungsgleichungen

$B_{k}{\ddot {q}}_{k}+K_{k}{\dot {q}}_{k}+H_{k}q_{k}+\sum _{l}G_{kl}{\dot {q}}_{l}=0\,,\qquad k=1,2,\ldots n$

Mit obigem Lösungsansatz $q_{k}=b_{k}e^{\sigma t}$ resultieren n lineare Gleichungen für die n Koeffizienten b_k. Damit diese nicht alle Null sind, muss die Determinante des Gleichungssystems Null sein, was auf eine Gleichung der Ordnung 2n in σ führt:

${\begin{aligned}{\begin{vmatrix}B_{1}\sigma ^{2}+K_{1}\sigma +H_{1}&G_{12}\sigma &\ldots &G_{1n}\sigma \\-G_{12}\sigma &B_{2}\sigma ^{2}+K_{2}\sigma +H_{2}&\ldots &G_{2n}\sigma \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-G_{1n}\sigma &-G_{2n}\sigma &\ldots &B_{n}\sigma ^{2}+K_{n}\sigma +H_{n}\end{vmatrix}}&=\ldots \\\ldots =:a_{0}\sigma ^{2n}+a_{1}\sigma ^{2n-1}+\cdots +a_{2n-1}\sigma +a_{2n}&=0\end{aligned}}$

mit

$a_{0}=B_{1}B_{2}\ldots B_{n}\quad {\text{und}}\quad a_{2n}=H_{1}H_{2}\ldots H_{n}$

Der ursprüngliche Gleichgewichtszustand ist genau dann stabil, wenn keine Wurzel σ einen positiven Realteil besitzt, denn ein positiver Realteil würde ein dauerndes Anwachsen mindestens einer Koordinate q_k und mithin Instabilität bedeuten.

Stabilität liegt demnach genau dann vor, wenn das Polynom ein Hurwitzpolynom ist. Der erste Koeffizient a₀ ist jedenfalls positiv. Mit dem Hurwitz-Kriterium kann entschieden werden, ob alle Nullstellen σ negative reelle Teile besitzen, und es zeigt sich, dass a_2n auch positiv sein muss. Das ist nur möglich wenn höchstens eine gerade Anzahl der H_k negativ ist, also höchstens eine gerade Anzahl der q_k instabil ist, was den ersten der aufgeführten Sätze begründet. Ob die Stabilisierung bei a_2n > 0 tatsächlich gelingen kann, hängt von den weiteren Hurwitz’schen Bedingungen ab.

Bei einem System mit zwei Freiheitsgraden können diese relativ leicht aufgeschrieben und erfüllt werden und so die beiden anderen eingangs aufgeführten Sätze plausibilisiert werden.

Systeme mit zwei sichtbaren Freiheitsgraden

Systeme mit zwei sichtbaren Freiheitsgraden kommen in der Technik häufig vor und deshalb werden diese hier ausführlich dargestellt. Bei einem solchen System entsteht ein Polynom vierten Grades

$a_{0}\sigma ^{4}+a_{1}\sigma ^{3}+a_{2}\sigma ^{2}+a_{3}\sigma +a_{4}=0$

mit der Hurwitz-Matrix

$H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&0\\0&a_{1}&a_{3}&0\\0&a_{0}&a_{2}&a_{4}\end{pmatrix}}$

woraus mit a₀ > 0 die Hurwitz-Kriterien

${\begin{aligned}D_{1}&:={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}=a_{1}>0\\D_{2}&:={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\end{vmatrix}}=a_{1}a_{2}-a_{0}a_{3}>0\\D_{3}&:={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\end{vmatrix}}=a_{3}D_{2}-a_{1}^{2}a_{4}>0\\D_{4}&:=|H|=a_{4}D_{3}>0\end{aligned}}$

folgen. Die senkrechten Striche |…| bezeichnen hier die Determinante der eingeschlossenen Matrix. Damit all diese Bedingungen eingehalten werden, ist

${\begin{aligned}a_{0}&=B_{1}B_{2}>0\\a_{1}&=B_{1}K_{2}+B_{2}K_{1}>0\\a_{2}&=B_{1}H_{2}+K_{1}K_{2}+B_{2}H_{1}+G^{2}>0\\a_{3}&=K_{1}H_{2}+K_{2}H_{1}>0\\a_{4}&=H_{1}H_{2}>0\\D_{3}&=a_{1}a_{2}a_{3}-a_{0}a_{3}^{2}-a_{1}^{2}a_{4}>0\end{aligned}}$

notwendig und hinreichend. Darin ist G = G₁₂ das Koppelglied.

In Abwesenheit von Dämpfung (K_1,2 = 0) ist ein System mit einer geraden Anzahl von labilen Freiheitsgraden (1. Satz, a₄ > 0) im Einklang mit dem zweiten Satz durch einen genügend starken Kreisel – also großem G – jedenfalls stabilisierbar.

Bei instabilen Freiheitsgraden (H_1,2 < 0) gibt es zur Erfüllung der Hurwitz-Kriterien die Möglichkeiten

${\begin{aligned}{\text{a)}}&{\frac {B_{1}}{B_{2}}}<\left|{\frac {H_{1}}{H_{2}}}\right|,K_{1}>0,K_{2}<0,\left|{\frac {H_{1}}{H_{2}}}\right|>{\frac {K_{1}}{|K_{2}|}}>{\frac {B_{1}}{B_{2}}}\\{\text{b)}}&{\frac {B_{1}}{B_{2}}}>\left|{\frac {H_{1}}{H_{2}}}\right|,K_{1}<0,K_{2}>0,\left|{\frac {H_{1}}{H_{2}}}\right|<{\frac {|K_{1}|}{K_{2}}}<{\frac {B_{1}}{B_{2}}}\end{aligned}}$

Bei einem gedämpften Freiheitsgrad, beispielsweise in a) mit K₁ > 0, muss der andere Freiheitsgrad künstlich angefacht werden, sodass in a) K₂ < 0 ist, und muss außerdem die entsprechende, vierte Ungleichung (hier im Fall a) erfüllbar sein. Dieser Sachverhalt konnte von Kelvin und Tait zur dritten Bedingung verallgemeinert werden.

Anwendungen

Die Drallstabilisierung wird von Richard Grammel (1920), siehe #Literatur und worauf sich auch die Seitenangaben beziehen, in folgenden Systemen diskutiert:

• Eigenschwingungen von Flugzeugen (S. 208)
• Schleudernde Scheiben (S. 231)
• Elastische Bindungen bei Kreiseln (z. B. Kardanische Aufhängung, die sich elastisch verformt) (S. 243)
• Auf der Erdoberfläche an Fäden aufgehängtes Schwungrad (S. 252)
• Einkreiselkompass (S. 258)
• Mehrkreiselkompass (S. 269)
• Querstabilisierung beim Flugzeugkreisel (S. 290)
• Stützkreisel im Howell Torpedo (S. 312)
• Einschienenbahn insbesondere die Einschienenbahn nach Brennan (S. 318)

Die gyroskopische Stabilisierung wird zudem angewendet

• in der Raumfahrt, siehe Stabilisierung (Raumfahrt) und beispielsweise Low-Density Supersonic Decelerator,
• in Kreiselinstrumenten, siehe beispielsweise Künstlicher Horizont.
• in der Ballistik insbesondere Außenballistik, siehe Geschossstabilisierung, die beispielsweise auch beim Speer­wurf ausgenutzt werden kann.

Weblinks

• K. Lüders, R. O. Pohl, G. Beuermann, K. Samwer: Stabilisierung mit Hilfe eines Kreisels ("Einschienenbahn"). (MP4) Institut für den wissenschaftlichen Film (IWF), 2003, abgerufen am 23. November 2019. 
• K. Lüders, R. O. Pohl, G. Beuermann, K. Samwer: Kreiselkompass. (MP4) Institut für den wissenschaftlichen Film (IWF), 2003, abgerufen am 24. November 2019. 

Literatur

• R. Grammel: Der Kreisel. Theorie des Kreisels. 2. überarb. Auflage. Band 1. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641299, S. 258 ff. 
• R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920, DNB 573533210 (archive.org – "Schwung" bedeutet Drehimpuls, "Drehstoß" Drehmoment und "Drehwucht" Rotationsenergie.).