Höhenfußpunktdreieck

Das Höhenfußpunktdreieck^[1] (seltener: orthisches Dreieck^[2]) ist ein Begriff aus der Dreiecksgeometrie. Es entsteht dadurch, dass die Fußpunkte der drei Höhen (also die Punkte $H_{a}$ , $H_{b}$ und $H_{c}$ , in denen die Lote von den Ecken des Dreiecks auf die gegenüber liegenden Seiten diese Seiten schneiden) miteinander verbunden werden. Im Sonderfall eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Höhenfußpunktdreieck entartet, da dann zwei Fußpunkte zusammenfallen. Das Höhenfußpunktdreieck ist das zum Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) gehörige Fußpunktdreieck.

Eigenschaften

Die Höhen des Referenzdreiecks halbieren die Innen- oder Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks

Höhenfußpunktdreieck mit Höhenfußpunkten H_a, H_b und H_c, Euler-Geraden e_a, e_b und e_c mit demeinsamen Schnittpunkt P auf dem Feuerbachkreis

Jede Höhe des ursprünglichen Dreiecks halbiert entweder einen Innenwinkel oder einen Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks. Daher stimmt für ein spitzwinkliges Dreieck ABC der Höhenschnittpunkt H dieses Dreiecks mit dem Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks überein. Ist das Dreieck ABC dagegen stumpfwinklig, so ist H gleich einem der Ankreismittelpunkte des Fußpunktdreiecks.^[3]^[4]
Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks ist der Feuerbach-Kreis des ursprünglichen Dreiecks.
Die Dreiecke $AH_{b}H_{c}$ , $BH_{a}H_{c}$ und $CH_{a}H_{b}$ sind alle ähnlich zum Referenzdreieck $ABC$ aber mit unterschiedlicher Orientierung.^[4]
Die Euler-Geraden der Dreiecke $AH_{b}H_{c}$ , $BH_{a}H_{c}$ und $CH_{a}H_{b}$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, der auf dem Feuerbachkreis des Referenzdreiecks $ABC$ liegt.^[5]
Das Tangentendreieck $Q_{a}Q_{b}Q_{c}$ des Referenzdreiecks $ABC$ ist ähnlich zu dem Höhenfußpunktdreieck $H_{a}H_{b}H_{c}$ und die entsprechenden Dreiecksseiten sind parallel, das heißt $Q_{a}Q_{b}\parallel H_{a}H_{b}$ , $Q_{b}Q_{c}\parallel H_{b}H_{c}$ und $Q_{a}Q_{c}\parallel H_{a}H_{c}$ .^[5]
Fagnano-Problem: Unter allen Dreiecken, die einem spitzwinkligen Dreieck einbeschrieben sind, hat das Höhenfußpunktdreieck den kleinsten Umfang.^[6]

Siehe auch

Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Literatur

Harold S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
Boris Pritsker: Geometrical Kaleidoscope. Dover, 2017, ISBN 978-0-486-81241-0, S. 24–34

Weblinks

Commons: Höhenfußpunktdreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Hoehenfußpunkte – eine Visualisierung mit GeoGebra
Eric W. Weisstein: Orthic Triangle. In: MathWorld (englisch).
Orthic Triangle (PDF; 104 kB)

Einzelnachweise

↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 168.
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 65 (Auszug (Google))
↑ Boris Pritsker: Geometrical Kaleidoscope. Dover, 2017, ISBN 978-0-486-81241-0, S. 24–34
↑ ^a ^b Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. Springer, 2012, S. 86 (Auszug (Google))
↑ ^a ^b Eric W. Weisstein: Orthic Triangle. In: MathWorld (englisch).
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 81–82 (Auszug (Google))

[1] Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 168.

[2] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 65 (Auszug (Google))

[3] Boris Pritsker: Geometrical Kaleidoscope. Dover, 2017, ISBN 978-0-486-81241-0, S. 24–34

[Ostermann/Wanner-4] Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. Springer, 2012, S. 86 (Auszug (Google))

[mathworld-5] Eric W. Weisstein: Orthic Triangle. In: MathWorld (englisch).

[6] Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 81–82 (Auszug (Google))

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]