Hadamard-Ungleichung

In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante (eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird) in einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Klassische Hadamard-Ungleichung

Sei $M$ eine $(n\times n)$-Matrix über den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren $m_{1},\dots ,m_{n}$, dann gilt mit der Euklidischen Norm $\|\cdot \|_{2}$

$|\det M|\,\leq \,\prod _{i=1}^{n}\|m_{i}\|_{2}.$

Mit der QR-Zerlegung $M=QR$ der Matrix $M$ gilt nämlich

$|\det M|=|\det Q|\cdot |\det R|=|\det R|\leq \|r_{1}\|_{2}\cdot \ldots \cdot \|r_{n}\|_{2},$

wobei $\|r_{i}\|_{2}=\|Qr_{i}\|_{2}=\|m_{i}\|_{2}$ ist.

Geometrische Anschauung

Ist $M$ eine $(n\times n)$-Matrix mit reellen Einträgen, so ist $|\det(M)|$ das Volumen des von ihren Zeilen- oder Spaltenvektoren $m_{i}$ aufgespannten $n$-dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen wird maximal für orthogonale Zeilen (bzw. Spalten) und ist folglich höchstens so groß wie das Volumen $\prod _{i=1}^{n}\|m_{i}\|_{2}$ des $n$-dimensionalen Quaders mit Kanten der Längen $\|m_{i}\|_{2}$.

Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung

Sei $(R,|\cdot |)$ ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und $M$ eine $(n\times n)$-Matrix über $R$ mit den Zeilenvektoren $m_{1},\dots ,m_{n}$. Dann gilt

$|\det M|\,\leq \,\prod _{i=1}^{n}\|m_{i}\|_{1}$

mit der 1-Pseudonorm.

Bemerkungen

• Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen $\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}$ die schärfere Abschätzung.
• Liegt ein Ring $R\subseteq \mathbb {C}$ mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.

Literatur

• Roger A. Horn: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 477 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).