Hadamard-Ungleichung

mathematischer Satz

In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante (eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird) in einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Klassische Hadamard-Ungleichung

Bearbeiten

Sei   eine  -Matrix über den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren  , dann gilt mit der Euklidischen Norm  

 

Mit der QR-Zerlegung   der Matrix   gilt nämlich

 

wobei   ist.

Geometrische Anschauung

Bearbeiten

Ist   eine  -Matrix mit reellen Einträgen, so ist   das Volumen des von ihren Zeilen- oder Spaltenvektoren   aufgespannten  -dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen wird maximal für orthogonale Zeilen (bzw. Spalten) und ist folglich höchstens so groß wie das Volumen   des  -dimensionalen Quaders mit Kanten der Längen  .

Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung

Bearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und   eine  -Matrix über   mit den Zeilenvektoren  . Dann gilt

 

mit der 1-Pseudonorm.

Bemerkungen

Bearbeiten
  • Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen   die schärfere Abschätzung.
  • Liegt ein Ring   mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen  ), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.

Literatur

Bearbeiten