Die Hafner–Sarnak–McCurley Konstante ist eine mathematische Konstante, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Determinanten von zwei Matrizen zueinander teilerfremd sind.

Definition

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Seien   zwei quadratische, ganzzahlige  -Matrizen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Determinanten zueinander teilerfremd sind, durch die Funktion

 

beschrieben.[1] Dabei bezeichnet   die n-Primzahl.

 
Graph der D(n) Funktion

Insbesondere ist für zwei  -Matrizen die Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit:

 . (OEIS A059956)

Weitere Werte

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Die genauen Funktionswerte für   wurden analytisch nicht ermittelt. Näherungsweise ergeben sich die Werte:

n D(n)
2 0.453103
3 0.397276
4 0.373913
5 0.363321

Grenzwert

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Für die Funktion   wurde durch Vardi (1991) der Grenzwert

  (A085849)

mit einer Approximationsgeschwindigkeit von   bewiesen.[2]

Literatur

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  • Finch, S. R. (2003), „§2.5 Hafner–Sarnak–McCurley Constant“, Mathematical Constants, Cambridge, England: Cambridge University Press, S. 110–112, ISBN 0-521-81805-2
  • Hafner, J. L.; Sarnak, P. & McCurley, K. (1993), „Relatively Prime Values of Polynomials“, in Knopp, M. & Seingorn, M. (eds.), A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis, Providence, RI: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-5155-1
  • Vardi, I. (1991), Computational Recreations in Mathematica, Redwood City, CA: Addison–Wesley, ISBN 0-201-52989-0

Einzelnachweise

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  1. Hafner, Sarnak, McCurley, op. cit.
  2. Eric W. Weisstein: Hafner-Sarnak-McCurley Constant. Abgerufen am 16. Juni 2019 (englisch).