Hahn-Jordan-Zerlegung

mathematischer Satz
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In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt die Hahn-Jordan-Zerlegung, wie man ein signiertes Maß in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann den Hahnschen Zerlegungssatz und den Jordanschen Zerlegungssatz. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde von Hans Hahn 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich auf Marie Ennemond Camille Jordan, der 1881 gezeigt hat, dass sich eine Funktion beschränkter Variation als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lässt.

Hahnscher Zerlegungssatz

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Sei   ein Messraum und   ein signiertes Maß auf diesem Messraum.

Dann existiert eine Partition der Grundmenge   in eine positive Menge   und eine negative Menge  , also   und  .

Bemerkung

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Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine  -Nullmenge eindeutig. Ist also   eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist   und  . Dabei bezeichnet   die symmetrische Differenz.

Variation

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Mittels des Hahnschen Zerlegungssatzes lassen sich die Variation, die positive Variation und die negative Variation definieren. Die Variation wird teils auch Totalvariation oder totale Variation genannt. Diese Bezeichnung ist jedoch zweideutig, da sie teilweise auch für die aus der Variation konstruierte Norm, die Totalvariationsnorm, verwendet wird.

Definition

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Ist   ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung  , so heißt

 

die positive Variation von  ,

 

die negative Variation von   und

 

die Variation von  .

Bemerkungen

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  •  ,   und   sind Maße auf  .
  • Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
  • Die Kennzahl   heißt auch die Totalvariationsnorm eines signierten Maßes.
  • Die positive Variation und die negative Variation sind singulär zueinander.

Jordanscher Zerlegungssatz

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Der Jordansche Zerlegungssatz fasst noch einmal die Zerlegung des signierten Maßes zusammen. Er lautet: ist   ein signiertes Maß, so ist

 

und   und   sind singulär zueinander, also  .

Beispiel zur Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes

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Gegeben sei der signierte Maßraum   mit   und mit   und  . Es ist   und  .

           
           
           
           
           

  ist ein signiertes Maß;   und   sind Maße. Die Mengenfunktion   ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation   verwechselt werden. Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes   ist  .

Literatur

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