Unter einer hallschen Untergruppe versteht man in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Algebra, eine Untergruppe einer endlichen Gruppe, deren Mächtigkeit teilerfremd zu ihrem Index ist.

Sie sind benannt nach dem britischen Mathematiker Philip Hall.

Formale Definition

Bearbeiten

Sei   eine endliche Gruppe,  .

  heißt hallsch in   genau dann, wenn   und   teilerfremd sind.

Man beachte, dass diese Definition nur für endliche Gruppen sinnvoll ist, weil der Index und die Mächtigkeit einer Untergruppe einer unendlichen Gruppe nicht beide endlich sein können.

Beispiele

Bearbeiten
  • Jede Sylowgruppe ist hallsch in der jeweiligen Gruppe
  • Jede Gruppe ist hallsch in sich selbst
  • Das Frobeniuskomplement einer Frobeniusgruppe ist hallsch in der Gruppe
  • Die alternierende Gruppe vom Grad   ist genau dann hallsch in der symmetrischen Gruppe vom Grad  , wenn  

Bedeutung

Bearbeiten

Philip Hall hat gezeigt, dass für jede endliche auflösbare Gruppe   und eine Menge von Primzahlen   gilt:

(1)   besitzt hallsche  -Untergruppen
(2) Je zwei solche Untergruppen sind konjugiert
(3) Jede  -Untergruppe von   ist in einer hallschen  -Untergruppe von   enthalten

Dabei ist eine  -Untergruppe von   eine Gruppe, deren Ordnung alle Zahlen aus   enthält.

Umgekehrt ist jede endliche Gruppe, die zu jeder Menge von Primzahlen   eine entsprechende hallsche Untergruppe besitzt, auflösbar.