Kanonische Gleichungen

Bewegungsgleichungen eines Systems, welches durch eine Hamiltonfunktion beschrieben wird

Die kanonischen Gleichungen sind in der klassischen Mechanik die Bewegungsgleichungen eines Systems, das durch eine Hamiltonfunktion beschrieben wird, und werden deshalb auch Hamiltonsche Bewegungsgleichungen genannt.

Fundamentale Bewegungsgleichungen

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Die fundamentalen Bewegungsgleichungen für die Koordinaten und Impulse lauten:

 .

Dabei bedeuten

Die kanonischen Gleichungen folgen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip durch ein erweitertes Variationsprinzip, bei dem Koordinaten und Impulse gleichberechtigt behandelt werden.

Die kanonischen Gleichungen sind eng mit den kanonischen Transformationen verknüpft, die über die Hamilton-Jacobi-Gleichung die Brücke zur Quantenmechanik schlagen. Einen ersten Hinweis darauf bietet die elegante Formulierung der kanonischen Gleichungen mit Poissonklammern:

 

Verallgemeinerung

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Für eine beliebige Phasenraumfunktion   des Systems kann man die totale Ableitung nach der Zeit aufgrund der Kettenregel schreiben als:

 .

Aufgrund der kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse und der Definition der Poisson-Klammer folgt daraus

 .

An dieser Form erkennt man die Korrespondenz der klassischen Bewegungsgleichung einer Phasenraumfunktion mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für Observable in der Quantenmechanik, wenn die Poisson-Klammer durch den Kommutator und die Hamiltonfunktion durch den Hamiltonoperator ersetzt wird.

Die kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse in ihrer Schreibweise mithilfe der Poisson-Klammern gehen als Spezialfall aus der verallgemeinerten Form wieder hervor.

Eine Größe   ist erhalten, wenn sie der Gleichung

 

gehorcht. Wenn die betrachtete Größe nicht explizit zeitabhängig ist, vereinfacht sich dies weiter zu

 .

Literatur

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  • Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1 Quantenmechanik-Grundlagen. 6. Auflage. Springer, Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40071-0.
  • L.D.Landau, E.M.Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik 1 Mechanik. 14. Auflage. Europa-Lehrmittel 1997, ISBN 978-3-8085-5612-2.