Harmonische Folge

Die harmonische Folge ist die mathematische Zahlenfolge der Kehrwerte der positiven ganzen Zahlen, also die Folge

Die ersten 10 Folgeglieder der harmonischen Folge

$1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;{\frac {1}{4}},\;{\frac {1}{5}},\cdots$

mit dem allgemeinen Glied

$a_{n}={\frac {1}{n}}\quad n\geq 1$.

Jedes Glied der harmonischen Folge mit $n\geq 2$ ist das harmonische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summation der Folgenglieder ergibt die harmonische Reihe.

Die alternierende harmonische Folge hat das allgemeine Glied

$a_{n}={\frac {\left(-1\right)^{(n+1)}}{n}}\quad n\geq 1$.

Für $k\in \mathbb {N}$ ist die verallgemeinerte harmonische Folge die Folge

$\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,\,{\tfrac {1}{2^{k}}},\,{\tfrac {1}{3^{k}}},\,{\tfrac {1}{4^{k}}},\,{\tfrac {1}{5^{k}}},\,\ldots \right)$

Eigenschaften

• Die harmonische Folge konvergiert gegen Null:$\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}=0$.

• Die harmonische Folge ist monoton fallend und hat nur strikt positive Folgenglieder.
• Das Maximum der Folgenglieder und damit das Supremum ist 1. Das Infimum der Folgenglieder ist 0, welches aber nicht durch die Folge angenommen wird.