Herman-Ring

In der Mathematik sind Herman-Ringe (auch Arnold-Herman-Ringe) ein Begriff aus der Theorie komplexer dynamischer Systeme. Es handelt sich um ringförmige Komponenten der Fatou-Menge, auf denen die Dynamik zu einer irrationalen Drehung konjugiert ist.

Definition

Herman-Ringe der Abbildung $f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}$, wobei $\tau =0,6151732\ldots$ so gewählt wurde, dass die Rotationszahl von $f$ auf dem Einheitskreis ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ beträgt.

Sei $f\colon S\to S$ eine holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen.

Eine Zusammenhangskomponente $U$ der Fatou-Menge ${\mathcal {F}}(f)$ heißt Herman-Ring, wenn es eine biholomorphe Abbildung

$\phi \colon U\to R$

auf ein Ringgebiet

$R=\left\{z\in \mathbb {C} \colon r<\vert z\vert <1\right\}$

mit $r>0$ gibt, so dass $\phi f\phi ^{-1}$ eine irrationale Drehung, also

$\phi f\phi ^{-1}(z)=e^{2\pi i\alpha }z$

für ein $\alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ist.

Geschichte

Nach Fatous Klassifikation invarianter Komponenten der Fatou-Menge für die Iteration einer rationalen Funktion $f$ müssen diese entweder Attraktionsgebiete, parabolische Gebiete oder Rotationsgebiete sein. Rotationsgebiete sind mit heutigen Bezeichnungen entweder Siegel-Scheiben oder Herman-Ringe. Die Existenz von Siegel-Scheiben wurde 1942 von Siegel bewiesen, während die Existenz von Herman-Ringen lange offen war und erst 1979 von Herman (mit Hilfe eines Satzes von Arnold über die Lösbarkeit einer gewissen Funktionalgleichung) bewiesen wurde.

Literatur

• Michael Herman: Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publications Mathématiques de l’IHÉS 49, 5–233 (1979)

Weblinks

• Arnold-Herman-Ring (Lexikon der Mathematik)