Hessenbergmatrix

Begriff
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Eine Hessenbergmatrix ist eine spezielle Klasse von quadratischen Matrizen, die insbesondere im mathematischen Teilgebiet der numerischen linearen Algebra betrachtet wird. Benannt sind diese Matrizen nach Karl Hessenberg.

Definition

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Eine (obere) Hessenbergmatrix ist eine quadratische Matrix  , deren Einträge unterhalb der ersten Nebendiagonalen gleich Null sind, also   für alle  .

 

Analog definiert man die untere Hessenbergmatrix als eine quadratische Matrix, deren Transponierte eine obere Hessenbergmatrix ist. Ist nur von einer Hessenbergmatrix die Rede, ist meist eine obere Hessenbergmatrix gemeint.[1]

Eine Matrix, die sowohl eine untere als auch eine obere Hessenbergmatrix ist, ist eine Tridiagonalmatrix.

Anwendung

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Hessenbergmatrizen treten in natürlicher Weise in Krylow-Unterraum-Verfahren und als Vorstufe bei der Berechnung von Eigenwerten mittels des QR-Algorithmus auf. Die numerische Transformation einer beliebigen Matrix auf Hessenbergform wird beim QR-Algorithmus beschrieben. Die Struktur der Matrizen spiegelt sich in der Inversen, der Adjunkten und in den Eigenvektoren wider.

Einzelnachweise

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  1. Hessenberg-Form. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.