Transponierte Matrix

bijektive, selbstinverse Abbildung einer reellen Matrix
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Die transponierte Matrix, gespiegelte Matrix oder gestürzte Matrix ist in der Mathematik diejenige Matrix, die durch Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten einer gegebenen Matrix entsteht. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der ersten Spalte der Ausgangsmatrix, die zweite Zeile der zweiten Spalte und so weiter. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale. Die Umwandlung einer Matrix in ihre transponierte Matrix wird Transponierung, Transposition oder Stürzen der Matrix genannt.

Animation zur Transponierung einer Matrix

Die Transpositionsabbildung, die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, ist stets bijektiv, linear und selbstinvers. Bezüglich der Matrizenaddition stellt sie einen Isomorphismus dar, bezüglich der Matrizenmultiplikation hingegen einen Antiisomorphismus, das heißt, die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen kehrt sich nach Transponierung um. Viele Kenngrößen von Matrizen, wie Spur, Rang, Determinante und Eigenwerte, bleiben unter Transponierung erhalten.

In der linearen Algebra wird die transponierte Matrix unter anderem zur Charakterisierung spezieller Klassen von Matrizen eingesetzt. Die transponierte Matrix ist auch die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung einer linearen Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen bezüglich der jeweiligen Dualbasen. Weiterhin ist sie auch die Abbildungsmatrix der adjungierten Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen reellen Skalarprodukträumen bezüglich der jeweiligen Orthonormalbasen. Das Konzept der Transponierung einer Matrix wurde im Jahr 1858 von dem britischen Mathematiker Arthur Cayley eingeführt.

Definition

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Ist   ein Körper (in der Praxis meist der Körper der reellen oder komplexen Zahlen), dann ist die zu einer gegebenen Matrix

 

transponierte Matrix definiert als

 .

Die transponierte Matrix   ergibt sich also dadurch, dass die Rollen von Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix   vertauscht werden. Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelung der Ausgangsmatrix an ihrer Hauptdiagonale   mit  . Gelegentlich wird die transponierte Matrix auch durch  ,   oder   notiert.

Beispiele

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Durch Transponieren einer  -Matrix (eines Zeilenvektors) entsteht eine  -Matrix (ein Spaltenvektor) und umgekehrt:

 

Eine quadratische Matrix behält durch Transponieren ihren Typ, jedoch werden alle Einträge an der Hauptdiagonale gespiegelt:

 

Durch Transponierung einer  -Matrix entsteht eine  -Matrix, bei der die erste Zeile der ersten Spalte der Ausgangsmatrix und die zweite Zeile der zweiten Spalte der Ausgangsmatrix entspricht:

 

Eigenschaften

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Für die Transponierte der Summe zweier Matrizen   gleichen Typs gilt

 .

Allgemein ergibt sich die Summe von   Matrizen   gleichen Typs zu

 .

Die Transponierte einer Summe von Matrizen ist demnach gleich der Summe der Transponierten.

Skalarmultiplikation

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Für die Transponierte des Produkts einer Matrix   mit einem Skalar   gilt

 .

Die Transponierte des Produkts einer Matrix mit einem Skalar ist also gleich dem Produkt des Skalars mit der transponierten Matrix.

Zweifache Transposition

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Für die Transponierte der Transponierten einer Matrix   gilt

 .

Durch zweifache Transposition ergibt sich demnach stets wieder die Ausgangsmatrix.

Für die Transponierte des Produkts einer Matrix   mit einer Matrix   gilt

 

mit den Transponierten   und  .

Allgemein ergibt sich für das Produkt von   Matrizen   passenden Typs

 .

Die Transponierte eines Produkts von Matrizen ist demnach gleich dem Produkt der Transponierten, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.

Die Transponierte einer regulären Matrix   ist ebenfalls regulär. Für die Transponierte der Inversen einer regulären Matrix gilt dabei

 ,

denn mit der Einheitsmatrix   ergibt sich

 

und daher ist   die inverse Matrix zu  . Die Transponierte der inversen Matrix ist demnach gleich der Inversen der transponierten Matrix. Diese Matrix wird gelegentlich auch mit   bezeichnet.[1]

Exponential und Logarithmus

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Für das Matrixexponential der Transponierten einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix   gilt

 .

Entsprechend gilt für den Matrixlogarithmus der Transponierten einer regulären reellen oder komplexen Matrix

 .

Transpositionsabbildung

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Die Abbildung

 ,

die einer Matrix ihre Transponierte zuordnet, wird Transpositionsabbildung genannt. Aufgrund der vorstehenden Gesetzmäßigkeiten besitzt die Transpositionsabbildung die folgenden Eigenschaften:

Blockmatrizen

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Die Transponierte einer Blockmatrix mit   Zeilen- und   Spaltenpartitionen ist durch

 

gegeben. Sie entsteht durch Spiegelung aller Blöcke an der Hauptdiagonale und nachfolgende Transposition jedes Blocks.

Kenngrößen

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Für eine Matrix   ist der Rang der transponierten Matrix gleich dem der Ausgangsmatrix:

 

Das Bild der Abbildung   wird dabei von den Spaltenvektoren von   aufgespannt, während das Bild der Abbildung   von den Zeilenvektoren von   aufgespannt wird. Die Dimensionen dieser beiden Bilder stimmen dabei stets überein.

Für eine quadratische Matrix   ist die Spur (die Summe der Hauptdiagonalelemente) der transponierten Matrix gleich der Spur der Ausgangsmatrix:

 

Denn die Diagonalelemente der transponierten Matrix stimmen mit denen der Ausgangsmatrix überein.

Determinante

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Für eine quadratische Matrix   ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der Ausgangsmatrix:

 

Dies folgt aus der Leibniz-Formel für Determinanten über

 ,

wobei die Summe über alle Permutationen der symmetrischen Gruppe   läuft und   das Vorzeichen der Permutation   bezeichnet.

Spektrum

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Für eine quadratische Matrix   ist aufgrund der Invarianz der Determinante unter Transposition auch das charakteristische Polynom der transponierten Matrix mit dem der Ausgangsmatrix identisch:

 

Daher stimmen auch die Eigenwerte der transponierten Matrix mit denen der Ausgangsmatrix überein, die beiden Spektren sind also gleich:

 

Die Eigenvektoren und Eigenräume müssen aber nicht übereinstimmen.

Ähnlichkeit

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Jede quadratische Matrix   ist ähnlich zu ihrer Transponierten, das heißt: Es gibt eine reguläre Matrix  , sodass

 

gilt. Die Matrix   kann dabei sogar symmetrisch gewählt werden.[4] Daraus folgt unter anderem, dass eine quadratische Matrix und ihre Transponierte das gleiche Minimalpolynom und, sofern ihr charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, auch die gleiche jordansche Normalform haben.

Die euklidische Norm eines reellen Vektors   ist durch

 

gegeben. Für die Frobeniusnorm und die Spektralnorm der Transponierten einer reellen oder komplexen Matrix   gilt

    und    .

Die Zeilensummen- und die Spaltensummennorm der Transponierten und der Ausgangsmatrix stehen folgendermaßen in Beziehung:

    und    

Skalarprodukte

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Das Standardskalarprodukt   zweier reeller Vektoren   ist durch

 

gegeben. Bezüglich des Standardskalarprodukts weisen eine reelle Matrix   und ihre Transponierte die Verschiebungseigenschaft

 

für alle Vektoren   und   auf. Hierbei steht auf der linken Seite das Standardskalarprodukt im   und auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt im  . Für das Frobenius-Skalarprodukt zweier Matrizen   gilt

 ,

da Matrizen unter der Spur zyklisch vertauschbar sind.

Verwendung

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Spezielle Matrizen

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Die transponierte Matrix wird in der linearen Algebra in einer Reihe von Definitionen verwendet:

  • Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die gleich ihrer Transponierten ist:  
  • Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die gleich dem Negativen ihrer Transponierten ist:  
  • Eine hermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Konjugierten ist:  
  • Eine schiefhermitesche Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Transponierte gleich dem Negativen ihrer Konjugierten ist:  
  • Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Transponierte gleich ihrer Inversen ist:  
  • Eine (reelle) normale Matrix ist eine reelle quadratische Matrix, die mit ihrer Transponierten kommutiert:  
  • Für eine beliebige reelle Matrix sind die beiden Gram-Matrizen   und   stets symmetrisch und positiv semidefinit.
  • Das dyadische Produkt zweier Vektoren   und   ergibt die Matrix  .

Bilinearformen

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Sind   und   endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper  , dann lässt sich jede Bilinearform   nach Wahl einer Basis   für   und einer Basis   für   durch die Darstellungsmatrix

 

beschreiben. Mit den Koordinatenvektoren   und   zweier Vektoren   und   gilt für den Wert der Bilinearform:

 

Sind nun   und   weitere Basen von   bzw.  , dann gilt für die entsprechende Darstellungsmatrix

 ,

wobei   die Basiswechselmatrix in   und   die Basiswechselmatrix in   sind. Zwei quadratische Matrizen   sind daher genau dann zueinander kongruent, es gilt also

 

mit einer regulären Matrix   genau dann, wenn   und   die gleiche Bilinearform   bezüglich gegebenenfalls unterschiedlicher Basen darstellen.

Duale Abbildungen

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Sind wieder   und   endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper   mit zugehörigen Dualräumen   und  , dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung   zugehörige duale Abbildung   durch

 

für alle   charakterisiert. Ist nun   eine Basis für   und   eine Basis für   mit zugehörigen dualen Basen   und  , dann gilt für die Abbildungsmatrizen   von   und   von   die Beziehung

 .

Die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung bezüglich der dualen Basen ist demnach gerade die Transponierte der Abbildungsmatrix der primalen Abbildung bezüglich der primalen Basen. In der Physik kommt dieses Konzept bei kovarianten und kontravarianten vektoriellen Größen zum Einsatz.

Adjungierte Abbildungen

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Sind nun   und   endlichdimensionale reelle Skalarprodukträume, dann wird die zu einer gegebenen linearen Abbildung   zugehörige adjungierte Abbildung   durch die Beziehung

 

für alle   und   charakterisiert. Ist weiter   eine Orthonormalbasis von  ,   eine Orthonormalbasis von   und   die Abbildungsmatrix von   bezüglich dieser Basen, dann ist die Abbildungsmatrix   von   bezüglich dieser Basen gerade

 .

Bei reellen Matrizen ist demnach die zu einer gegebenen Matrix adjungierte Matrix gerade die transponierte Matrix, also  . In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen verallgemeinert.

Permutationen

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Durch die transponierte Matrix werden auch spezielle Permutationen definiert. Werden in eine  -Matrix zeilenweise der Reihe nach die Zahlen von   bis   geschrieben und dann spaltenweise wieder abgelesen (was genau dem Transponieren der Matrix entspricht), ergibt sich eine Permutation   dieser Zahlen, die durch

 

für   und   angegeben werden kann. Die Anzahl der Fehlstände und damit auch das Vorzeichen von   lassen sich explizit durch

 
 

bestimmen. In der Zahlentheorie werden diese Permutationen beispielsweise im Lemma von Zolotareff zum Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes verwendet.[5]

Verallgemeinerungen

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Allgemeiner können auch Matrizen mit Einträgen aus einem Ring (gegebenenfalls mit Eins) betrachtet werden, wobei ein Großteil der Eigenschaften transponierter Matrizen erhalten bleibt. In beliebigen Ringen muss jedoch der Spaltenrang einer Matrix nicht mit ihrem Zeilenrang übereinstimmen. Die Produktformel und die Determinantendarstellung gelten nur in kommutativen Ringen.

Siehe auch

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Literatur

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Originalarbeit

  • Arthur Cayley: A memoir on the theory of matrices. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Band 148, 1858, S. 17–37 (Online).

Einzelnachweise

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  1. Christian Voigt, Jürgen Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. Oldenbourg Verlag, 2007, S. 9.
  2. Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I. Springer, 2013, S. 153.
  3. Teiko Heinosaari, Mário Ziman: The Mathematical Language of Quantum Theory. Cambridge University Press, 2011, S. 177 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  4. O. Taussky, H. Zassenhaus: On the similarity transformation of matrix and its transpose. In: Pacific J. Math. Band 9, 1959, S. 893–896.
  5. Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer, 2000, S. 32.
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