In der linearen Algebra ist die lineare Hülle (auch der Spann, Span [aus dem Englischen, von [linear] span], Aufspann, Erzeugnis oder Abschluss[1] genannt) einer Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus und Skalaren aus . Die lineare Hülle bildet einen Untervektorraum, der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der enthält.

Ein Vektor und seine lineare Hülle .
Die blaue Ebene stellt die lineare Hülle der beiden Vektoren und dar. ( ist eine Linearkombination der beiden Vektoren.)

Definition

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Konstruktive Definition

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Ist   ein Vektorraum über einem Körper   und   eine Teilmenge des Vektorraums, dann ist

 

die lineare Hülle von  .[2] Die lineare Hülle ist die Menge aller Linearkombinationen der  .

Im Fall einer endlichen Teilmenge   vereinfacht sich diese Definition zu

 .

Die lineare Hülle der leeren Menge ist der Nullvektorraum, das heißt

 ,

denn die leere Summe von Vektoren ergibt per Definition den Nullvektor.

Andere Definitionen

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Äquivalent zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge   eines Vektorraums   ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge   enthält.
  • Die lineare Hülle einer Teilmenge   eines Vektorraums   ist die Schnittmenge aller Untervektorräume   von  , die   enthalten.

Notation

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Als Symbole für die lineare Hülle von   werden   bzw.  ,  ,  ,   oder   verwendet. Ist   endlich, etwa  , werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen  ,   oder   verwendet werden.

Eigenschaften

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Seien   und   Teilmengen des  -Vektorraumes  . Dann gelten:

  1.  ,
  2.  ,
  3.  .

Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als Hüllenoperator.[1]

Weiter gelten:

  • Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums   ist ein Untervektorraum von  .
  • Für jeden Unterraum   eines Vektorraums   gilt  .
  • Eine Menge von Vektoren ist ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.
  • Die Summe   zweier Unterräume   ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also  .
  • In der Menge   der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu duale Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet   dann einen Verband.
  • Sind   Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle die Dimensionsformel:
 .

Beispiele

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  • Die lineare Hülle   eines einzelnen Vektors   ist eine Gerade durch den Ursprung.
  • Die beiden Vektoren   und   sind Elemente des reellen Vektorraums  . Ihre lineare Hülle   ist die  - -Ebene.
  • Sei   der Vektorraum der formalen Potenzreihen über dem Körper   und   die Menge der Monome. Dann ist die lineare Hülle von   der Unterraum der Polynome:
     .

Literatur

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  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 978-3-8348-0996-4, 384 Seiten.

Einzelnachweise

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  1. a b Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162
  2. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30