Hilbert-C*-Modul

Hilbert-C*-Moduln werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie spielen eine wichtige Rolle im Aufbau der KK-Theorie, die Elemente der dort auftretenden Gruppen sind solche Moduln mit einer gewissen Zusatzstruktur. Hilbert-C*-Moduln sind in Analogie zu Hilberträumen definiert, wobei das innere Produkt Werte in einer C*-Algebra annimmt. Sie wurden 1953 von Irving Kaplansky für den Fall kommutativer C*-Algebren eingeführt und 1973 von William Paschke für den allgemeinen Fall.

Definition

Es sei $B$ eine C*-Algebra. Ein Prä-Hilbert-$B$-Modul ist ein Rechts-B-Modul $E$ zusammen mit einer Abbildung $\langle \cdot ,\cdot \rangle :E\times E\rightarrow B$, so dass

1. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ist sesquilinear (konjugiert linear in der ersten Variablen)
2. $\langle x,yb\rangle =\langle x,y\rangle b$ für alle $x,y\in E,b\in B$
3. $\langle x,y\rangle ^{*}=\langle y,x\rangle$ für alle $x,y\in E$
4. $\langle x,x\rangle \geq 0$ für alle $x\in E$, wobei $\geq$ die durch die positiven Elemente definierte Ordnung auf $B$ sei.
5. $\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0$ für alle $x\in E$.

Die offenbare Analogie zur Definition eines Hilbertraums lässt sich weiter ausbauen. Man zeigt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

$\|\langle x,y\rangle \|\leq \|\langle x,x\rangle \|^{1/2}\|\langle y,y\rangle \|^{1/2}$ für alle $x,y\in E$ (ohne Verwendung der fünften Bedingung)

und erhält so eine Halbnorm

$\|x\|:=\|\langle x,x\rangle \|^{1/2}$

auf $E$, die wegen der 5. Bedingung sogar eine Norm ist. Ist der Prä-Hilbert-$B$-Modul bezüglich dieser Norm vollständig, so nennt man ihn einen Hilbert-$B$-Modul. Der wesentliche Unterschied zu Hilberträumen besteht darin, dass man keinen Projektionssatz beweisen kann, das heißt, es gibt Unter-Hilbert-$B$-Moduln, die nicht stetig projizierbar sind.

Beispiele

• Eine C*-Algebra $B$ ist mit der Definition $\langle x,y\rangle :=x^{*}y$ ein Hilbert-$B$-Modul. Dessen Unter-Hilbert-B-Moduln sind die abgeschlossenen Rechtsideale. $B$ ist als Hilbert-$B$-Modul genau dann abzählbar erzeugt, das heißt, es gibt eine abzählbare Teilmenge, so dass $B$ der kleinste diese Menge umfassende Untermodul ist, wenn $B$ σ-unital ist.
• Ein Hilbertraum ist ein Hilbert-$\mathbb {C}$-Modul.
• Für eine C*-Algebra $B$ sei $H_{B}$ der Raum aller Folgen $(b_{n})_{n}\in B^{\mathbb {N} }$, für die $\textstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }b_{n}^{*}b_{n}\in B$ konvergiert. Mit der Definition $\textstyle \langle (a_{n})_{n},(b_{n})_{n}\rangle :=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}^{*}b_{n}$ wird $H_{B}$ zu einem Hilbert-$B$-Modul. Offenbar ist $H_{\mathbb {C} }=\ell ^{2}$ der separable Folgenraum der quadratsummieren Folgen.

Konstruktionen

Direkte Summen

Direkte Summen $E_{1}\oplus \ldots \oplus E_{n}$ von Hilbert-$B$-Moduln sind mit der Definition $\textstyle \langle (x_{i})_{i},(y_{i})_{i}\rangle :=\sum _{i=1}^{n}\langle x_{i},y_{i}\rangle$ offenbar wieder Hilbert-$B$-Moduln.

Algebren von Operatoren

Für zwei Hilbert-$B$-Moduln $E$ und $F$ sei $L_{B}(E,F)$ die Menge aller Operatoren $T:E\rightarrow F$, für die es einen Operator $T^{*}:F\rightarrow E$ gibt, so dass $\langle Tx,y\rangle _{F}=\langle x,T^{*}y\rangle _{E}$ gilt für alle $x\in E$ und $y\in F$. Man zeigt, dass solche Operatoren $B$-linear sind und einen abgeschlossenen Unterraum der stetigen, linearen Operatoren $E\rightarrow F$ bilden. $L_{B}(E):=L_{B}(E,E)$ ist mit der Operatornorm und der Involution $T\mapsto T^{*}$ eine C*-Algebra. Im Spezialfall $E=B$ ist $L_{B}(B)=M(B)$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra von $B$.

Gewisse Operatoren aus $L_{B}(E,F)$ lassen sich wie folgt in Analogie zu den eindimensionalen Operatoren auf Hilberträumen definieren. Sind $x\in F$ und $y\in E$, so sei $\theta _{x,y}:E\rightarrow F,\,\theta _{x,y}(z):=x\langle y,z\rangle$. Man bestätigt leicht die Formel $\theta _{x,y}^{*}=\theta _{y,x}$ und somit $\theta _{x,y}\in L_{B}(E,F)$. Den von diesen Operatoren erzeugten, abgeschlossenen Unterraum bezeichnet man mit $K_{B}(E,F)$ und nennt seine Elemente die kompakten Operatoren von $E$ nach $F$, auch wenn es sich im Allgemeinen nicht um kompakte Operatoren im Sinne der Banachraumtheorie handelt. Leicht bestätigt man $T\theta _{x,y}=\theta _{Tx,y}$ für ein $T\in L_{B}(F)$, woraus $L_{B}(F)K_{B}(E,F)\subset K_{B}(E,F)$ folgt, und ganz ähnlich auch $K_{B}(E,F)L_{B}(E)\subset K_{B}(E,F)$. Damit ist $K_{B}(E)\subset L_{B}(E)$ ein zweiseitiges Ideal. Offenbar ist $K_{\mathbb {C} }(H_{\mathbb {C} })$ das Ideal der kompakten Operatoren auf $\ell ^{2}$.

Diese Konstruktionen hängen wie folgt zusammen: Für jede C*-Algebra $B$ und jeden Hilbert-$B$-Modul $E$ ist $L_{B}(E)$ isomorph zur Multiplikatorenalgebra $M(K_{B}(E))$. Insbesondere gibt es einen *-Isomorphismus $L_{B}(H_{B})\cong M(K_{\mathbb {C} }\otimes B)$, der $K_{B}(H_{B})$ auf $K_{\mathbb {C} }\otimes B$ abbildet.

Unitäre Äquivalenz

Zwei Hilbert-$B$-Moduln $E$ und $F$ heißen unitär äquivalent, in Zeichen $E\cong F$, wenn eine bijektive, lineare Abbildung $U\in L_{B}(E,F)$ gibt mit $\langle U(x),U(y)\rangle _{F}=\langle x,y\rangle _{E}$ für alle $x,y\in E$.

Innere Tensorprodukte

Es seien $E$ ein Hilbert-$B$-Modul, $F$ ein Hilbert-$A$-Modul und $\varphi :B\rightarrow L_{B}(F)$ ein *-Homomorphismus. Durch die Formel $by:=\varphi (b)(y)$ wird $F$ zu einem Links-$B$-Modul und man kann daher das algebraische Tensorprodukt $E\otimes _{B}F$ bilden, das durch die Definition $(x\otimes _{B}y)a:=x\otimes _{B}ya$ zu einem Rechts-$A$-Modul wird. Durch die Formel

$\langle x_{1}\otimes _{B}y_{1},x_{2}\otimes _{B}y_{2}\rangle :=\langle y_{1},\varphi (\langle x_{1},x_{2}\rangle _{E})(y_{2})\rangle _{F}$

erhalten wir mittels linearer Ausdehnung eine Sesquilinearform auf $E\otimes _{B}F$, die alle Regeln aus der Definition des Prä-Hilbert-$A$-Moduls erfüllt bis auf eventuell Punkt 5, das heißt, es kann Vektoren der Länge 0 geben. Indem man den Raum $N:=\{z\in E\otimes _{B}F;\langle z,z\rangle =0\}$ der Vektoren der Länge herausdividiert, das heißt zum Faktorraum nach $E\otimes _{B}F/N$ übergeht, und anschließend vervollständigt, erhält man einen Hilbert-$A$-Modul, den man mit $E\otimes _{\varphi }F$ bezeichnet und das innere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

Äußeres Tensorprodukt

Es seien wieder $E$ ein Hilbert-$B$-Modul und $F$ ein Hilbert-$A$-Modul. Dann ist das algebraische Tensorprodukt $E\otimes _{\mathbb {C} }F$ mittels der Definition

$(x\otimes y)\cdot (b\otimes a):=xb\otimes ya,\quad x\in E,y\in F,a\in A,b\in B$

ein Rechts-$B\otimes A$-Modul und man erhält mittels linearer Ausdehnung aus

$\langle x_{1}\otimes _{\mathbb {C} }y_{1},x_{2}\otimes _{C}y_{2}\rangle :=\langle x_{1},x_{2}\rangle \otimes \langle y_{1},y_{2}\rangle$

eine Sesquilinearform. Ist $B{\hat {\otimes }}A$ das räumliche Tensorprodukt der C*-Algebren, so konstruiert man durch Herausdividieren von Vektoren der Länge 0 und durch Ausdehnen auf die Vervollständigungen einen Hilbert-$B{\hat {\otimes }}A$-Modul, den man mit $E{\hat {\otimes }}F$ bezeichnet und das äußere Tensorprodukt der Hilbert-C*-Moduln nennt.

Pushout

Ist $E$ ein Hilbert-$B$-Modul und $\varphi :B\rightarrow A$ ein surjektiver *-Homomorphismus, so definiere $N_{\varphi }:=\{x\in E;\varphi (\langle x,x\rangle )=0\}$. Ist $q:E\rightarrow E_{\varphi }:=E/N_{\varphi }$ die Quotientenabbildung, so wird $E_{\varphi }$ durch die Definitionen

$q(x)a:=q(xb)$, wobei $b\in B$ mit $\varphi (b)=a$

$\langle q(x),q(y)\rangle :=\varphi (\langle x,y\rangle )$,

deren Wohldefiniertheit zu zeigen ist, ein Hilbert-$A$-Modul, den man den Pushout von $E$ bzgl. $\varphi$ nennt. Man kann zeigen, dass $E_{\varphi }\cong E\otimes _{\varphi }A$, indem man $A$ als Unteralgebra von $M(A)\cong L_{B}(A)$ auffasst.

Graduierte Hilbert-C*-Moduln

Besonders für die KK-Theorie werden Hilbert-C*-Algebren mit einer Zusatz-Struktur, einer sogenannten Graduierung, genauer einer $\mathbb {Z} /2$-Graduierung verwendet. Es sei $B$ eine graduierte C*-Algebra mit Graduierungsautomorphismus $\alpha :B\rightarrow B$, das heißt, es ist

$\alpha \circ \alpha =\mathrm {id} _{B}$

$B_{0}:=\{b\in B;\alpha (b)=b\}$

$B_{1}:=\{b\in B;\alpha (b)=-b\}$

Dann ist $B=B_{0}\oplus B_{1}$ die direkte Summenzerlegung zur $\mathbb {Z} /2$-Graduierung. Ein graduierter Hilbert-$B$-Modul ist ein Hilbert-$B$-Modul $E$ zusammen mit einer linearen Bijektion $S_{E}:E\rightarrow E$, so dass

$S_{E}\circ S_{E}=\mathrm {id} _{E}$

$S_{E}(xb)=S_{E}(x)\alpha (b)$ für alle $x\in E,b\in B$

$\langle S_{E}(x),S_{E}(y)\rangle =\alpha (\langle x,y\rangle )$ für alle $x,y\in E$

Wieder erhält man eine direkte Summenzerlegung $E=E_{0}\oplus E_{1}$, wobei

$E_{0}:=\{x\in E;S_{E}(x)=x\}$

$E_{1}:=\{x\in E;S_{E}(x)=-x\}$

und es folgt

$E_{i}B_{j}\subset E_{i+j}$ und $\langle E_{i},E_{j}\rangle \subset B_{i+j}$ für alle $i,j\in \mathbb {Z} /2=\{0,1\}$.

Durch den Automorphismus $T\mapsto S_{E}TS_{E}^{-1}$ erhalten dann auch $L_{B}(E)$ und $K_{B}(E)$ eine Graduierung.

Graduierte Hilbert-C*-Moduln heißen unitär äquivalent, wenn sie als Hilbert-C*-Moduln unitär äquivalent sind mit einem unitären Operator, der die Graduierung erhält.

Dies verallgemeinert die oben eingeführten Begriffe ohne Graduierung, denn jede C*-Algebra kann mittels $\alpha =\mathrm {id} _{A}$ trivial graduiert werden und ebenso jeder Hilbert-$B$-Modul mittels $S_{E}=\mathrm {id} _{E}$.

Um auch $H_{B}$ zu graduieren, hat man zwei Möglichkeiten, nämlich $S(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ):=(\alpha (b_{1}),\alpha (b_{2}),\alpha (b_{3}),\ldots )$ und $-S(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots )=(-\alpha (b_{1}),-\alpha (b_{2}),-\alpha (b_{3}),\ldots )$. Wir definieren daher

${\hat {H}}_{B}:=H_{B}\oplus H_{B}$ mit der Graduierung $S\oplus -S$.

Die oben angeführten Konstruktionen lassen sich auch für graduierte Hilbert-C*-Moduln definieren, wobei das graduierte Tensorprodukt zu nehmen ist und alle auftretenden Morphismen mit den Graduierungen verträglich sein müssen. Die hiermit zusammenhängenden Einzelheiten sind sehr technisch und werden hier übergangen.

Stabilisierungssatz von Kasparow

Für die KK-Theorie erweist sich der sogenannte Stabilisierungssatz von Kasparow als wichtig. Dieser Satz gilt für graduierte und nicht-graduierte Hilbert-C*-Moduln, er sagt aus, dass $H_{B}$ bereits alle abzählbar erzeugten Hilbert-C*-Moduln als direkte Summanden enthält, und analog für graduierte Moduln. Es gilt sogar etwas mehr:

• Ist $E$ ein abzählbar erzeugter Hilbert-$B$-Modul über einer C*-Algebra $B$, so ist $E\oplus H_{B}\cong H_{B}$.
• Ist $E$ ein abzählbar erzeugter, graduierter Hilbert-$B$-Modul über einer graduierten C*-Algebra $B$, so ist $E\oplus {\hat {H}}_{B}\cong {\hat {H}}_{B}$.