Das Hilbert-Symbol (nach David Hilbert) ist eine Kurzschreibweise, die in der algebraischen Zahlentheorie verwendet wird. Für einen lokalen Körper
mit der multiplikativen Gruppe
ist es definiert als die folgende Abbildung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}K^{*}\times K^{*}&\rightarrow \{-1,1\}\\(a,b)&\mapsto {\begin{cases}1,&{\text{falls}}\ z^{2}=ax^{2}+by^{2}\ {\text{eine nicht}}{\mbox{-}}{\text{triviale Lsg.}}\ (x,y,z)\in K^{3}\ {\text{besitzt}};\\-1,&{\text{sonst}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7363f5d0f1accbf914c748fc545ebebd1f07025)
Hierbei heißt eine Lösung trivial, wenn
gilt.
- Ein Element in ist ein Quadrat genau dann, wenn für alle gilt.
- Für alle in gilt: .
- Für alle in gilt: .
- Für alle in mit gilt .