Hoffmans Packungsproblem

Hoffmans Packungsproblem ist ein mathematisches Problem und ein darauf basierendes 27-teiliges mechanisches Geduldspiel, das 1978 von dem US-amerikanischen Mathematiker Dean G. Hoffman auf einer Konferenz der University of Miami vorgestellt und später nach ihm benannt wurde. Dean G. Hoffman zufolge war der Mathematiker David A. Klarner der Erste, dem die Lösung des Problems gelungen ist. Die Zeit für die Lösung reicht üblicherweise von 20 Minuten bis zu mehreren Stunden.

Hoffmans Packproblem, zerlegt mit der kubischen Holzkiste. Die 27 Quader sind aus unterschiedlichen Hölzern gefertigt und entsprechend beschriftet, was für das Rätsel ohne Bedeutung ist.

Problembeschreibung und Spielanweisung

Das Spiel besteht aus 27 gleichen Quadern mit den drei unterschiedlichen Kantenlängen $x$, $y$ und $z$. Es wird meist mit einer kubischen Holzkiste mit der inneren Kantenlänge $l=x+y+z$ vertrieben. Die Problembeschreibung und Spielanweisung lautet:

Füge 27 Quader mit den Kantenlängen $x$, $y$ und $z$ in eine kubische Kiste mit der Kantenlänge $l=x+y+z$ ein; $x$, $y$ und $z$ müssen voneinander verschieden und jeweils größer als $(x+y+z):4$ sein:

$(x+y+z):4<x<y<z$

Spielumfang

Das Spiel kann aus Quadern mit beliebigen Kantenlängen $x$, $y$ und $z$ konstruiert werden. Die Bedingung, dass die kleinste Kantenlänge größer als ein Viertel der Summen der Kantenlängen sein muss, dient dem Ausschluss trivialer Lösungen, bei denen vier Quader nebeneinander gelegt werden. Wenn die Kantenlängen eine arithmetische Folge bilden, steigt die Schwierigkeit des Spiels, weil drei aneinander gefügte mittlere Kantenlängen in den Würfel passen, aber nur scheinbar zur Lösung des Problems führen.

Mathematik

Jede Lösung des Problems ordnet alle Quader ähnlich dem 3×3×3-Zauberwürfel mit ihren Seiten parallel zu den Seiten des aufnehmenden Würfels an. Dabei wird jede Kante des entstandenen Würfels von drei unterschiedlich langen Kanten der Quader gebildet. Wenn Drehungen und Spiegelungen ausgeschlossen werden, hat das Problem 21 verschiedene Lösungen; wegen der Position des Quaders in der Mitte des Würfels hat keine von ihnen Symmetrien.

Im Inneren des vollendeten Würfels befinden sich Hohlräume, die auf die Stabilität keinen Einfluss haben. Der aufsummierte Rauminhalt der 27 Quader ist kleiner als der Rauminhalt des Würfels:

$27\cdot x\cdot y\cdot z<(x+y+z)^{3}$

Ein Drittel der Kubikwurzel des Volumens der 27 Quader entspricht dem geometrischen Mittel der Werte $x$, $y$ und $z$. Demgegenüber entspricht ein Drittel der Kubikwurzel des Würfelvolumens dem arithmetischen Mittel der Werte $x$, $y$ und $z$. Die unterschiedlichen Volumina folgen aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel für voneinander verschiedene $x$, $y$ und $z$.

Lösungsbeispiel

Der zusammengesetzte Würfel lässt sich in der Aufsicht auf die drei Lagen darstellen. Gleich große Flächen sind gleichfarbig dargestellt, die aus der unterschiedlichen Höhe der Quader folgende Verzahnung der Ebenen miteinander bleibt unberücksichtigt:

Obere Lage

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Mittlere Lage

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Untere Lage

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Andere Dimensionen

Lösung des zweidimensionalen Problems, zugleich Illustration der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Die zweidimensionale Abwandlung des Packungsproblems fordert die Unterbringung von vier Rechtecken mit den unterschiedlichen Seitenlängen $x$ und $y$ in einem Quadrat der Seitenlänge $l=x+y$. Das Problem ist immer lösbar und wird häufig zur Veranschaulichung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel verwendet.

Hoffmans Packungsproblem lässt sich in höhere Dimensionen übertragen. In $d$ Dimensionen wird gefordert, $d^{d}$ gleiche $d$-dimensionale Analogien zum Rechteck ($n=2$) und zum Quader ($n=3$) in einen $d$-dimensionalen Hyperwürfel zu packen. Der US-amerikanische Logiker und Mathematiker Raphael M. Robinson kam zu dem Ergebnis, dass $d$-dimensionale Probleme lösbar sind, wenn $d$ ein Produkt $d_{1}\cdot d_{2}$ ist, wobei das Problem $d_{1}$-dimensional und $d_{2}$-dimensional lösbar ist. Daraus folgt die Lösbarkeit für die Dimensionen 4, 6, 8, 9 und alle weiteren 3-glatten Dimensionen. Als Folge der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist das Volumen des $d$-dimensionalen Hyperwürfels stets größer als die aufsummierten Volumina der $d$-dimensionalen Hyperrechtecke, aus denen er zusammengesetzt ist. Es ist nicht bekannt, ob es für fünfdimensionale und höhere primzahlige Dimensionen Lösungen gibt.