Ein Homöoid ist in drei Dimensionen eine Schale, die durch zwei konzentrische, ähnliche Ellipsoide berandet ist. In zwei Dimensionen ist ein Homöoid ein elliptischer Ring, der durch entsprechende Ellipsen berandet ist.

3-D-Homöoid
2-D-Homöoid

Mathematische Definition

Bearbeiten

Wird die äußere Berandung durch ein implizit gegebenes Ellipsoid

 

mit den Halbachsen   beschrieben, so ist für   die innere Berandung durch

 

gegeben.

Im Grenzfall von   spricht man von dünnen, im anderen Fall von dicken Homöoiden.

Physikalische Bedeutung I

Bearbeiten

Die physikalische Bedeutung von Homöoiden in der Potentialtheorie liegt darin, dass innerhalb eines homogen mit Masse bzw. Ladung gefüllten Homöoiden auf eine Probemasse bzw. Ladung keine Kraft ausgeübt wird. Das entsprechende Potential ist daher konstant, siehe auch Prinzip der Entblätterung. Dies gilt nicht für andere elliptische Schalen, z. B. Fokaloide.

Das Potential im Äußeren eines dünnen Homöoiden ist auf Ellipsoiden konstant, die konfokal zu diesem Homöoiden liegen. Diese bemerkenswerten Eigenschaften wurden bereits von Isaac Newton bewiesen.

In der Astronomie und Geophysik kann die Theorie der Homöoide zur Berechnung von Gleichgewichtsfiguren dienen. Da bei allen größeren Himmelskörpern die Dichte nach innen zunimmt, können sie zwiebelschalenartig durch dünne Schichten gleicher Dichte modelliert werden.

Definition homöoidale Verteilung

Bearbeiten

Man spricht von einer homöoidalen Dichteverteilung, wenn die Schichten konstanter Dichte einer Massen- oder Ladungsverteilung durch konzentrische, einander ähnliche Ellipsoide gegeben sind.

 
Linien konstanter Dichte einer homöoidalen Verteilung

Physikalische Bedeutung II

Bearbeiten

Innerhalb einer homöoidalen Dichteverteilung tragen zur Kraftwirkung auf einen Körper nur die Schichten bei, die sich innerhalb des zur Berandung konzentrischen, ähnlichen Ellipsoiden befinden, der durch den Körper verläuft.

Siehe auch

Bearbeiten

Literatur

Bearbeiten
  • S. Chandrasekhar: Ellipsoidal Figures of Equilibrium (= The Silliman Foundation Lectures 42). Yale University Press, New Haven CT u. a. 1969, ISBN 0-300-01116-4.
  • Edward John Routh: A Treatise on Analytical Statics. Volume II. Cambridge University Press, Cambridge 1882.