Homogener Raum

Topologischer Raum der Gruppentheorie

Ein homogener Raum (seltener Kleinscher Raum oder Kleinsche Geometrie nach Felix Klein) ist in der Mathematik ein Raum mit einer transitiven Gruppenwirkung. Die entsprechende Gruppe wird Bewegungsgruppe genannt.

Anschaulich bedeutet diese Homogenität, dass der Raum „in jedem Punkt gleich aussieht“. Beispielsweise sind zusammenhängende differenzierbare Mannigfaltigkeiten homogen, denn zu je zwei Punkten gibt es einen Diffeomorphismus, der auf abbildet. Eine wichtige Klasse der homogenen Räume sind die Riemannschen homogenen Räume.

Definition

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Sei   eine Menge, auf der die Gruppe   transitiv operiert. Das heißt, es gibt eine Abbildung

 
 

mit folgenden Eigenschaften:

  • Für alle   und alle   gilt
 .
  • Für alle   gilt:
 ,
wobei   das neutrale Element ist.
  • Für alle   gibt es ein   mit
 .

Das Tupel   heißt dann homogener Raum und   nennt man die Bewegungsgruppe des homogenen Raums.[1]

Beispiele

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Oft hat die zugrundeliegende Menge des homogenen Raums eine zusätzliche Struktur, etwa im Rahmen der mathematischen Teilgebiete Gruppentheorie, Topologie oder Riemannschen Differentialgeometrie.

Nebenklassenraum

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Ein Beispiel eines homogenen Raums ist die Menge   aller Linksnebenklassen   einer Gruppe   mit einer Untergruppe  . Die Gruppe   operiert durch

 

auf  , wodurch   zu einem homogenen Raum wird.[1]

Riemannscher homogener Raum

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Oft sind Riemannsche homogene Räume gemeint, wenn von homogenen Räumen die Rede ist. Hier gibt es zu je zwei Punkten   eine Isometrie, die   auf   abbildet. Riemannsche homogene Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen in der Riemannschen Geometrie. Ihre Krümmung kann oft mit algebraischen Methoden berechnet werden.

Eigenschaften

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Falls die transitiv wirkende Gruppe   endlich ist, gilt für die Mächtigkeit der Menge  

 ,

wobei   den Stabilisator eines (beliebigen) Elements   bezeichnet.

Siehe auch

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Literatur

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  • Kai Köhler: Differentialgeometrie und homogene Räume. S. 151 ff., Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1569-9 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Jeff Cheeger, David G. Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry. North-Holland Mathematical Library, Vol. 9. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Oxford; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York 1975.

Einzelnachweise

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  1. a b Homogener Raum. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.