Kettenhomotopie

mathematisches Teilgebiet

Im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra ist eine Kettenhomotopie eine Abstraktion des topologischen Begriffes einer Homotopie.

Definition

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Es seien   und   Kokettenkomplexe und   zwei Kettenabbildungen, d. h. Systeme von Morphismen  , die mit den Differentialen in dem Sinne verträglich sind, dass   gilt.

Dann ist eine Kettenhomotopie   eine Folge von Morphismen  , so dass  , oder ausführlicher

  für alle  ,

gilt.

 

  und   heißen homotop, wenn es eine Kettenhomotopie   gibt. Homotopie ist eine mit der Komposition verträgliche Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kettenabbildungen.

Homotopien von Abbildungen zwischen Kettenkomplexen (und nicht Kokettenkomplexen) sind analog definiert. Zwei Kettenabbildungen   und   zwischen Kettenkomplexen   und   heißen homotop, wenn es eine Folge   von Morphismen   gibt, so dass

  für alle  .[1]

Zwei Kettenkomplexe   und   heißen kettenhomotopieäquivalent, wenn es Kettenabbildungen   und   gibt, für die die Hintereinanderausführungen   und   jeweils homotop zur Identität sind.

Bedeutung

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  • Eine Abbildung, die homotop zur Nullabbildung ist, heißt nullhomotop. Die Kategorie der Kokettenkomplexe modulo nullhomotoper Abbildungen ist die Homotopiekategorie.
  • Homotope Kettenabbildungen induzieren dieselbe Abbildung in der Homologie bzw. Kohomologie.[2]
  • Ist insbesondere   ein Kokettenkomplex und   eine Homotopie zwischen der Identität auf   und der Nullabbildung auf  , so ist die Kohomologie von   trivial, d. h.   ist exakt. Man spricht dann auch von einer kontrahierenden Homotopie.
  • Sind zwei stetige Abbildungen   und   zwischen topologischen Räumen   und   homotop, so sind die zugeordneten Abbildungen   und   zwischen den zugehörigen singulären Kettenkomplexen homotop im oben definierten Sinne[3]. Insbesondere sind die induzierten Abbildungen zwischen den singulären Homologiegruppen gleich.

Einzelnachweise

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  1. Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Homotopy
  2. Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §3, Satz 3.1
  3. Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 114 (1967), Theorem 8.2
  4. Peter Hilton und Urs Stammbach: A course in homological algebra, Springer-Verlag (1970), Graduate Texts in Mathematics, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel IV, §4, Satz 4.3