Hopf-Verschlingung

einfachste nichttriviale Verschlingung
(Weitergeleitet von Hopf-Invariante)

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung
Hopf-Verschlingung

Hopf-Verschlingung

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Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im   durch   und   parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements

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Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre   ist homöomorph zu  . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu  , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten

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Das Jones-Polynom ist

 ,

das HOMFLY-Polynom ist

 ,

die Hopf-Verschlingung ist der  -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes  .

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante

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Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

 

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen   die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante   als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von   und er bewies, dass die Zuordnung

 
Shingon-shu Buzan-ha crest
 

einen Isomorphismus

 

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie

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Catenane
  • Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
  • Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
  • Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Literatur

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Commons: Hopf links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien