Knotengruppe

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man einen in den euklidischen Raum eingebetteten Kreis als Knoten. Die entsprechende Knotengruppe ist dann die Fundamentalgruppe des Komplements des Knotens $K$

$\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K).$

Andere Konvention

In der Topologie betrachtet man statt des euklidischen Raumes häufig dessen Einpunktkompaktifizierung $\mathbb {S} ^{3}$ und entsprechend Knoten als eingebettete Kreise in der $\mathbb {S} ^{3}$.

Es lässt sich zeigen, dass die so entstehende Knotengruppe

$\pi _{1}(\mathbb {S} ^{3}\setminus K)$

isomorph zu $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$ ist.

Eigenschaften

Äquivalente Knoten haben isomorphe Knotengruppen, die Knotengruppen ist also eine Knoteninvariante und kann dazu dienen, Knoten zu unterscheiden.

Die Umkehrung gilt jedoch nicht, so gibt es nicht-äquivalente Knoten mit isomorphen Knotengruppen. Außerdem ist es ein algorithmisch schwieriges Problem, die Nicht-Isomorphie von Knotengruppen zu beweisen.

Die Abelisierung der Knotengruppe ist immer isomorph zur Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$. Das folgt aus dem Alexanderschen Dualitätssatz.

Die Knotengruppe kann mit dem Wirtinger-Algorithmus recht einfach berechnet werden. (D.h. der Wirtinger-Algorithmus liefert eine endliche Präsentation der Knotengruppe.) Es gibt aber keinen allgemeinen Algorithmus, der zu zwei endlichen Gruppenpräsentationen entscheidet, ob die Gruppen isomorph sind.

Alle Erzeuger in der Wirtinger-Präsentierung sind Meridiane des Knotens und insbesondere sind alle diese Erzeuger konjugiert zueinander. Unter der Abelisierungsabbildung werden alle auf denselben Erzeuger der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ abgebildet.

Beispiele

• Die Knotengruppe des trivialen Knotens ist $\mathbb {Z}$.
• Die Knotengruppe des Kleeblattknotens ist die Zopfgruppe $B_{3}$ mit Präsentation

$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$ oder $\langle a,b\mid aba=bab\rangle$.

• Die Knotengruppe des (p,q)-Torusknotens ist

$\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle$.

• Die Knotengruppe des Achterknotens ist

$\langle x,y\mid x^{-1}yxy^{-1}xy=yx^{-1}yx\rangle$.

Literatur

• Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner. Knots. Second edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 5. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2003. xii+559 pp. ISBN 3-11-017005-1

Weblinks

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Knot and Link Groups", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104