Hyper-Operator

Fortsetzung der herkömmlichen mathematischen Operatoren der Addition, Multiplikation und Potenzierung

Der Hyper-Operator ist eine Familie von mathematischen Operatoren. Konkret ist der erste Operator die einstellige Verknüpfung, dann kommt die Addition, die Multiplikation, die Potenzierung usw. Der Hyper-Operator dient zur kurzen Darstellung großer Zahlen wie Potenztürmen. Es gibt verschiedene Schreibweisen:

Herleitung der Notation

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Ausgehend von den Beobachtungen

  •  
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definiert man rekursiv einen dreistelligen Operator (mit  )

 

und führt folgende Bezeichnungen ein:

 

(Zu beachten ist bei dieser Schreibweise, dass die Zusammenschreibung von   und   keine Multiplikation darstellt, also jede tatsächlich vorkommende Multiplikation mit dem expliziten Operator   zu notieren ist. Ebenso ist   keine Potenzierung. Die Verwendung der Notation   schließt demgegenüber solche Verwechslungsmöglichkeiten aus.)

Somit ist hyper1 die Addition, hyper2 die Multiplikation und hyper3 die Potenzierung. hyper4 wird auch bezeichnet als Tetration oder Superpotenz und kann folgendermaßen notiert werden:

 .

Allgemeinverständlicher könnte man auch sagen: Schreibe die Zahl    -mal hintereinander und füge jeweils dazwischen den Operator eine Stufe tiefer ein.

Die Familie wurde für   nicht für reelle Zahlen erweitert, weil es mehrere „offensichtliche“ Wege dazu gibt, die jedoch nicht assoziativ sind.

Knuths Pfeilnotation

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Eine andere Schreibweise für den Hyperoperator wurde von Donald Knuth entwickelt, welche als Pfeilnotation bekannt ist. Die Definition ist

 

Eine andere Notation verwendet statt des Pfeils   das Zeichen  . Mit der Definition gilt gerade

 .

Diese Notation wird für die Darstellung von sehr großen Zahlen wie etwa Grahams Zahl benutzt.

Eine andere Erweiterung

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Es gibt eine andere Möglichkeit, aus den Vorgaben eine allgemeinere Definition der Verknüpfung zu erhalten, denn es gilt auch

  •  
  •  
  •  ,

weil die Verknüpfungen + und   kommutativ sind. Daraus ergibt sich die Definition

 

Diese Notation „kollabiert“ jedoch für  ; sie ergibt im Gegensatz zu hyper4 keinen Potenzturm mehr:

 

Wie können sich   und   plötzlich für   unterscheiden? Das liegt an der Assoziativität, einer Eigenschaft, die die Operatoren   und   besitzen (siehe auch Körper), die aber dem Potenz-Operator fehlt. (Im Allgemeinen ist  .)

Die anderen Ebenen kollabieren nicht auf diese Weise, weshalb auch diese Operatorenfamilie, genannt „niedere Hyper-Operatoren“ von Interesse ist.

Beispiele

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Addition

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Multiplikation

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Potenzierung

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Tetration

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Zu beachten ist hier, dass   gilt, siehe hierzu auch bei Potenzturm.

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