In der Mathematik sind hyperbolische Graphen in Graphentheorie, Geometrie und Gruppentheorie von Bedeutung.

Definition

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Es sei   ein zusammenhängender Graph. Wir identifizieren jede Kante mit dem Einheitsintervall und machen den Graphen damit zu einem metrischen Raum. (Der Abstand zweier Knoten ist also die Anzahl der Kanten eines minimalen Verbindungsweges.)

Der Graph heißt hyperbolisch wenn es ein   gibt, so dass für alle Tripel von Knoten   und alle kürzesten Verbindungswege   von   nach   für   gilt:

  liegt in der  -Umgebung von  
  liegt in der  -Umgebung von  
  liegt in der  -Umgebung von  

Beispiele

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  • Endliche Graphen sind hyperbolisch, man kann für   den Durchmesser des Graphen wählen.
  • Bäume sind hyperbolisch, man kann   wählen.
  • Der Farey-Graph ist hyperbolisch, man kann   wählen.
  • Cayley-Graphen hyperbolischer Gruppen sind (per Definitionem) hyperbolisch.
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