Hyperelliptische Involution

eine in der Funktionentheorie vorkommende Abbildung

In der Mathematik ist die hyperelliptische Involution eine in der Funktionentheorie vorkommende Abbildung.

Definition

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Sei   eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht  . Eine hyperelliptische Involution ist eine holomorphe Abbildung

 

mit   Fixpunkten, so dass   gilt.

Existiert eine hyperelliptische Involution auf  , so heißt   eine hyperelliptische Fläche. Die Fixpunkte von   heißen dann Weierstraß-Punkte von  .

Eigenschaften hyperelliptischer Involutionen

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Wenn   eine hyperelliptische Fläche vom Geschlecht   ist, dann gibt es genau eine hyperelliptische Involution auf  .

Die hyperelliptische Involution kommutiert mit allen anderen konformen Homöomorphismen von   auf sich. Sie liegt also im Zentrum der Automorphismengruppe der Riemannschen Fläche, ihre Isotopieklasse liegt im Zentrum der Abbildungsklassengruppe von  .

Eigenschaften hyperelliptischer Flächen

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Eine hyperelliptische Fläche wird in der affinen Karte   durch eine Gleichung

 

mit einem Polynom   ohne mehrfache Nullstellen beschrieben. Dazu kommen ein oder zwei Punkte im Unendlichen, je nachdem ob der   oder   ist. Die hyperelliptische Involution wird in der affinen Karte durch  . Die Weierstraß-Punkte sind von der Form  , wobei   eine Nullstelle von   ist, sowie im Fall   noch der Punkt im Unendlichen.

Durch   und Abbildung der Punkte im Unendlichen auf   wird eine verzweigte 2-fache Überlagerung

 

definiert.

Literatur

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  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra: Riemann Surfaces. Springer, New York 1980, ISBN 0-387-90465-4
  • Mikhail G. Katz: Systolic Geometry and Topology. Amer. Math. Soc. 2007, ISBN 9780821841778