Intermediäre Ricci-Krümmung

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt es den Begriff intermediäre Ricci-Krümmung in zwei unterschiedlichen Bedeutungen. Im einen Fall wird zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung interpoliert, im anderen zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung.

Definitionen

Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Für zwei Vektoren $v,w\in T_{p}M$ im Tangentialraum eines Punktes $p\in M$ bezeichnen wir jeweils mit $K(v,w)$ die Schnittkrümmung der von $v$ und $w$ aufgespannten Ebene in $T_{p}M$.

Interpolation zwischen Schnittkrümmung und Ricci-Krümmung

Sei $1\leq k\leq \mathrm {dim} (M)-1$. Dann ist die $k$-te intermediäre Ricci-Krümmung für $k+1$ orthonormale Vektoren $x,y_{1},\ldots ,y_{k}$ in einem Tangentialraum $T_{p}M$ definiert als

$\mathrm {Ric} _{k}(x,y_{1},\ldots ,y_{k}):=K(x,y_{1})+\ldots +K(x,y_{k}).$

Für $k=1$ erhält man die Schnittkrümmung $K(x,y_{1})$ und für $k=\mathrm {dim} (M)-1$ die Ricci-Krümmung $\mathrm {Ric} (x,x)$.

Interpolation zwischen Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung

Sei $1\leq k\leq \mathrm {dim} (M)$. Dann ist die $k$-te intermediäre Ricci-Krümmung für $k$ orthonormale Vektoren $x_{1},\ldots ,x_{k}$ in einem Tangentialraum $T_{p}M$ definiert als

$\mathrm {Ric} _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k}):=\mathrm {Ric} (x_{1},x_{1})+\ldots +\mathrm {Ric} (x_{k},x_{k}).$

Für $k=1$ erhält man die Ricci-Krümmung $\mathrm {Ric} (x_{1},x_{1})$ und für $k=\mathrm {dim} (M)$ die Skalarkrümmung in $p$.

Literatur

• H. Wu, Manifolds of partially positive curvature. Indiana Univ. Math. J. 36, 525–548 (1987).
• S. Brendle, S. Hirsch, F. Johne, A generalization of Geroch´s conjecture. arXiv:2207.08617

Weblinks

• L. Mouillé: Intermediate Ricci Curvature