Interpolationsfehler bei der Interpolation mit linearen Splines

Der Interpolationsfehler bei der Interpolation mit linearen Splines ist fundamental bei der Gewinnung von Fehlerabschätzungen für die Finite-Elemente-Methode.

Eindimensionaler Fall

Auf dem Intervall $[a,b]$ werde eine stetige Funktion $u$ stückweise linear interpoliert. D.h.: in den Gitterpunkten $a=x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{N}=b$ wird interpoliert, und auf dem Intervall $[x_{i-1},x_{i}]$ der Länge $h_{i}$ ist die Interpolierende $u^{I}$ linear mit

$u^{I}=u(x_{i})(x-x_{i-1})/h_{i}+u(x_{i-1})(x_{i}-x)/h_{i}.$

Es sei $h=\max _{i}h_{i}$. Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $u$ gilt die Interpolationsfehlerabschätzung

$\max _{[a,b]}|u-u^{I}|\leq \max _{[a,b]}|u''|\,\,h^{2}/8.$

In Hinsicht auf partielle Differentialgleichungen und den zweidimensionalen Fall ist die Voraussetzung der zweimaligen stetigen Differenzierbarkeit unbefriedigend. Anstrebenswert sind Interpolationsfehlerabschätzungen für Funktionen aus gewissen Sobolev-Räumen. Im Fall linearer Splines ist dies der Raum $H^{2}(a,b)$. Funktionen aus diesem Raum sind stetig, so dass die Interpolierende definiert ist. Aus den Darstellungen

$u(x)-u^{I}(x)=\int _{x_{i-1}}^{x}\left({\frac {du(\xi )}{d\xi }}-{\frac {1}{h_{i}}}(u(x_{i})-u(x_{i-1})\right)d\xi ={\frac {1}{h_{i}}}\int _{x_{i-1}}^{x}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}\int _{\eta }^{\xi }{\frac {d^{2}u(\zeta )}{d\zeta }}d\zeta d\eta d\xi$

und

$(u(x)-u^{I})'(x)={\frac {1}{h_{i}}}\int _{x_{i-1}}^{x_{i}}\int _{\eta }^{x}{\frac {d^{2}u(\zeta )}{d\zeta }}d\zeta d\eta$

erhält man die Interpolationsfehlerabschätzungen in der $L^{2}(a,b)$-Norm und der Semi-Norm im $H^{1}(a,b)$:

$\|u-u^{I}\|_{0}\leq h^{2}|u|_{2}\quad {\rm {bzw.}}\quad |u-u^{I}|_{1}\leq h|u|_{2}.$

Zweidimensionaler Fall

Im zweidimensionalen Fall hat sich für die Interpolationsfehlerabschätzung eine Technik durchgesetzt, bei der Integrale über die Elemente der Zerlegung auf Integrale über ein Referenzelement transformiert werden, dann das Bramble-Hilbert-Lemma angewandt wird und im dritten Schritt zurücktransformiert wird.

Betrachtet wird ein polygonales Gebiet $\Omega$ und eine zulässige Zerlegung in Dreiecke. Für $u\in H^{2}(\Omega )$ sei $u^{I}$ die stückweise lineare Interpolierende von $u$, die in allen Ecken der Dreiecke mit $u$ übereinstimmt. Es sei $K$ ein Dreieck bzw. Element der Zerlegung in der $(x,y)-$ Ebene und $E$ mit den Ecken $(0,0)$, $(1,0)$ und $(0,1)$ das Referenzelement in der $(\xi ,\eta )-$ Ebene. Besitzt $K$ die Ecken $(x_{i},y_{i})$, so wird die Abbildung $K\leftrightarrow E$ vermittelt durch

$x=x_{1}+(x_{2}-x_{1})\xi +(x_{3}-x_{1})\eta ,\quad y=y_{1}+(y_{2}-y_{1})\xi +(y_{3}-y_{1})\eta .$

Abzuschätzen sei nun zunächst $\|u-u^{I}\|_{0,K}=[\int _{K}(u-u^{I})^{2}dK]^{1/2}$. Bei der Transformation auf $E$ kommt die (konstante) Funktionaldeterminante $D_{K}$ ins Spiel, $({\hat {u}},{\hat {u}}^{I})$ seien die transformierten Größen auf $E$. Schritt 1 liefert

$[\int _{K}(u-u^{I})^{2}dK]^{1/2}=D_{K}^{1/2}[\int _{E}({\hat {u}}-{\hat {u}}^{I})^{2}dE]^{1/2}.$

Nun wird das Bramble-Hilbert-Lemma angewandt. $[\int _{E}({\hat {u}}-{\hat {u}}^{I})^{2}dE]^{1/2}$ ist ein auf $H^{2}(E)$ beschränktes, sublineares Funktional, das für lineare ${\hat {u}}$ verschwindet. Also gilt

$[\int _{E}({\hat {u}}-{\hat {u}}^{I})^{2}dE]^{1/2}\leq c|{\hat {u}}|_{2,E}.$

Im dritten Schritt wird zurücktransformiert. Es müssen dazu die zweiten Ableitungen bezüglich $(\xi ,\eta )$ in Ableitungen bezüglich $(x,y)$ umgerechnet werden. Die Kettenregel liefert dies. Die Größen $x_{\xi },y_{\xi },x_{\eta },y_{\eta }$ sind leicht berechenbar, sie können alle durch $h_{K}$ (Durchmesser von $K$) abgeschätzt werden. Das ergibt

$|{\hat {u}}|_{2,E}\leq D_{K}^{-1/2}h_{K}^{2}|u|_{2,K}.$

Zusammenfügen der Teilergebnisse impliziert mit $h=max_{K}h_{K}$ die gewünschte Abschätzung in der $L^{2}-$norm:

$\|u-u^{I}\|_{0,\Omega }\leq ch^{2}|u|_{2,\Omega }.$

Wichtig für die Fehlerabschätzung für die Finiten-Element-Methode ist der Interpolationsfehler in der Semi-Norm des $H^{1}$. Schritt 2 und 3 verlaufen analog wie bei der Abschätzung des $L^{2}-$Fehlers. Im ersten Schritt muss man jetzt aber die Ableitungen nach $x,y$ in Ableitungen nach $\xi ,\eta$ im Integral

$\int _{K}((u-u^{I})_{x}^{2}+(u-u^{I})_{y}^{2})dK=|u-u^{I}|_{1,K}^{2}$

umrechnen. Die Ableitungen $\xi _{x},\eta _{x}$ erhält man z. B., indem man die $x,y$ definierenden Gleichungen nach $x$ differenziert und das entsprechende Gleichungssystem löst. Die Koeffizientendeterminante dieses Systems ist $D_{K}$. $D_{K}$ ist gleich dem zweifachen Flächeninhalt von $D_{K}$, und dieser ist das Produkt vom Umfang und dem Inkreisradius $\rho _{K}$ von $K$. Daraus folgt

$|u-u^{I}|_{1,K}\leq cD_{K}^{1/2}\rho _{K}^{-1}|{\hat {u}}-{\hat {u}}^{I}|_{1,E}.$

Schritt 2 und 3 liefern dann

$|u-u^{I}|_{1,K}\leq ch_{K}^{2}\rho _{K}^{-1}|u|_{2,K}.$

Ist der Quotient ${\frac {h_{K}}{\rho _{K}}}$ für alle $K$ gleichmäßig beschränkt, liegt also eine quasiuniforme Triangulierung vor, so folgt die gewünschte Abschätzung

$|u-u^{I}|_{1,\Omega }\leq ch|u|_{2,\Omega }.$

Die Quasiuniformität (Minimalwinkelbedingung) ist hinreichend für diese Abschätzung, aber nicht notwendig. Hinreichend ist auch die Maximalwinkelbedingung.

Stückweise polynomiale Approximation

Interpoliert man mit einer stetigen Interpolierenden, die stückweise polynomial ist vom Grad $k\geq 2$, und ist die Triangulierung quasiuniform, so verbessert sich die Appoximationsordnung, falls $u$ glatter ist mit $u\in H^{k+1}(\Omega )$:

$\|u-u^{I}\|_{0}\leq ch^{k+1}|u|_{k+1}\quad {\rm {bzw.}}\quad |u-u^{I}|_{1}\leq ch^{k}|u|_{k+1}.$

Der Beweis erfolgt analog zu dem für $k=1$.

Literatur

• D. Braess: Finite Elemente. Springer 2013
• P. G. Ciarlet: The finite element method for elliptic problems. North Holland 1978
• A. Ern, L. Guermond: Theory and practice of finite elements, Springer 2004
• S. Ganesan, L. Tobiska: Finite elements, Cambridge 2017
• Herbert Goering, Hans-Görg Roos, Lutz Tobiska: Die Finite-Elemente-Methode. 4. Auflage. Wiley, 2010, ISBN 978-3-527-40964-8.
• Ch. Grossmann, Hans-Görg Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen, Teubner 2005
• W. Hackbusch: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen, Teubner 1986
• P. Knabner, L. Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen, Springer 2000