Interpolationssatz von Stampacchia

Der Interpolationssatz von Stampacchia, welcher vom italienischen Mathematiker Guido Stampacchia aufgestellt wurde, ähnelt im Grunde dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz, wobei hier aber nicht zwischen $L^{p}$ -Räumen interpoliert wird, sondern durch $L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)\rightarrow$ BMO $\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)$ .

Definition des Satzes

Sei $Q_{0}$ ein Würfel im $\mathbb {R} ^{N}$ und $T$ eine lineare Abbildung von $L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ nach $L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)$ , welche zudem $L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)\rightarrow \mathrm {BMO} \left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)$ abbildet, sodass

\|Tf\|_{L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}\leqslant A_{s}\|f\|_{L^{s}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}\quad \forall f\in L^{s}\left(Q_{0},R^{N}\right)

[Tg]_{*,Q_{0}}\leqslant A_{\infty }\|g\|_{L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}\quad \forall g\in L^{\infty }\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)

.

Dann bildet $T$ dein Raum $L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)$ nach $L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)$ für alle $s<p<\infty$ ab mit

\left\|T\mu -(T\mu )_{Q_{0}}\right\|_{L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{\phi }\right)}\leqslant A_{p}\|\mu \|_{L^{p}\left(Q_{0},\mathbb {R} ^{N}\right)}

,

wobei

\mathrm {CA} _{\mathrm {s} }{}^{\mathrm {s} /\mathrm {p} }A_{\infty }^{1-\left(s/p\right)}

.

Bemerkung

Im Sinne der Definition der BMO-Räume stellt $\mu :Q_{0}\rightarrow \mathbb {R} ^{N}$ hierbei eine integrierbare Funktion dar, für welche man

[\mu ]_{*}=[\mu ]_{*,Q_{0}}:=\sup _{Q\subset Q_{0}}\int \limits _{Q}^{}\left|\mu -\mu _{Q}\right|dx

,

setzt, wobei $Q_{0}$ für einen achsenparallelen Würfel im $\mathbb {R} ^{n}$ steht.

Siehe auch

Literatur

Stampacchia, G.: Sopra una classe di funzioni in n variabili. Ricerche di Matematica, vol. 1, 1952
Stampacchia, G.: L(p,λ) spaces and interpolation. Comm. Pure and Applied Math, vol. 17, 1964